Page 143 - MATINF Nr. 1

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 143

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU
CONCURSURI

Probleme propuse

Clasa a V-a

M 1. Ar˘atat , i c˘a oricare ar fi k num˘ar natural, k ≥ 4, exist˘a numere de forma a 1 a 2 . . . a k astfel
ˆıncˆat suma resturilor ˆımp˘art , irii lor la a 1 , a 2 , . . . , a k−1 , respectiv a k s˘a fie 8k − 1.

Marian Haiducu, Pites , ti
M 2. Un ogar urm˘ares , te o vulpe care are 12 s˘arituri avans. Cˆate s˘arituri va face ogarul pˆan˘a s˘a
ajung˘a vulpea s , tiind c˘a, ˆın timp ce ogarul face 7 s˘arituri, vulpea face 8 s˘arituri s , i c˘a distant , a
parcurs˘a de ogar ˆın 5 s˘arituri este aceeas , i cu cea parcurs˘a de vulpe ˆın 6 s˘arituri?

Marius Antonescu, Cos , es , ti, Arges ,
M 3. Figura 1 este format˘a din 4 p˘atrate ˆın care sunt scrise numerele naturale a, b, c, d. Printr-o
operat , ie ˆınt , elegem ˆınlocuirea numerelor din dou˘a p˘atrate care au o latur˘a comun˘a cu succesorii
acestora. Dup˘a mai multe operat , ii se obt , ine Figura 2. S¸tiind c˘a a + b + c + d = 43, aflat , i

num˘arul b.

Mugurel Simion, S¸tef˘anes , ti, Arges ,
M 4. Fie x, y, z numere naturale astfel ˆıncˆat x are ultima cifr˘a 5, y este un num˘ar prim, y ≥ 5,
iar restul ˆımp˘art , irii lui z la 15 este egal cu 7. Dac˘a N = 3x+y +2z, determinat¸i valorile posibile
ale restului obt¸inut ˆımp˘art¸indu-l pe N la 6.

Andreea Oprea s , i Adrian T¸urcanu, Pites , ti
.
.
M 5. S˘a se determine cifra x astfel ˆıncˆat 19x74 . x3.
Iulia Cucu s , i Adrian T¸urcanu, Pites , ti

Clasa a VI-a

M 6. Pe o tabl˘a sunt scrise numerele de la 1 la 2n − 1, n ≥ 4. Se s , terg, la ˆıntˆamplare, dou˘a
numere de pe tabl˘a s , i se scrie suma lor. Este posibil ca, repetˆand procedeul, s˘a obt , inem n − 1

numere distincte divizibile cu 5? Justificat , i r˘aspunsul.
Marian Haiducu, Pites , ti