Page 146 - MATINF Nr. 1

˘
146 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Clasa a IX-a

∗
M 21. Demonstrat , i c˘a pentru orice n ∈ N s , i x ≥ 0 are loc inegalitatea
n
X (2 + x) k
n
≥ 2 − 1.
2 + kx
k=1
Cˆand are loc egalitatea?

Dorin M˘arghidanu, Corabia

M 22. Demonstrat , i identitatea

" #
ñ ô
2n−1 n»
o n − 1
X ∗
k(k + 1) = , ∀ n ∈ N ,
2
k=n
unde [x] s , i {x} reprezint˘a partea ˆıntreag˘a, respectiv partea fract , ionar˘a a num˘arului real x.
Nicolae St˘aniloiu, Bocs , a

6
M 23. Rezolvat , i ˆın (0, ∞) sistemul

 a 1 + a 2 + a 3 − a 4 − a 5 − a 6 = 3




2
2
2
a + a + a + a + a + a = 9 .
2
2
2
 1 2 3 4 5 6


a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 = 1


Leonard Giugiuc s , i Diana Tr˘ailescu, Drobeta Turnu Severin
M 24. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , iile:
2
2
a) (4 cos x − 3)(4 cos 3x − 3) = 2 sin x;
3
3
3
3
cos x + cos 5x + cos 9x + cos 13x 3
b) = .
cos x + cos 5x + cos 9x + cos 13x 4
Marin Chirciu, Pites , ti
M 25. Fie ABC un triunghi avˆand toate unghiurile mai mici decˆat 2π s , i fie T punctul Torricelli-
3
Fermat al acestuia. Bisectoarele unghiurilor ^BTC, ^CTA s , i ^ATB intersecteaz˘a laturile [BC],
[CA] s , i [AB] ˆın punctele D, E s , i respectiv F. Ar˘atat , i c˘a AB +BC +CA ≥ 2(DE +EF +FD).
Leonard Giugiuc, Romˆania, Kadir Altintas, Turcia
s , i Miguel Ochoa Sanchez, Peru