Page 145 - MATINF Nr. 1

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 145

Clasa a VIII-a

?
∗
M 16. Fie a, b ∈ R . S˘a se determine funct , ia f : R → R, pentru care
a Å ax ã 1 b Ç Ç å bx å
1
· f(x) − ≤ ≤ · f − ,
b b x a x a
∗
oricare ar fi x ∈ R .

Dorin M˘arghidanu, Corabia

M 17. Fie a, b, c numere reale pozitive cu abc = 1. Ar˘atat , i c˘a

Ç 1 1 1 å
2
2
4
2
4
4
a(b + c) + b(a + c) + c(a + b) ≥ 12(ab + ac + bc) + 4(a + b + c ) ≥ 16 + + .
a b c
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
◦
M 18. Fie ABCD tetraedru ˆın care m(^BAC)=m(^CBD)=90 . Dac˘a E este mijlocul
√
segmentului [CD], demonstrat , i inegalitatea 3 · CD > P ABE , unde P ABE reprezint˘a perimetrul
triunghiului ABE.

Florin St˘anescu, G˘aes , ti

M 19. Fie funct , ia f : (0, ∞) → R, definit˘a prin f(x) = ”partea ˆıntreag˘a a volumului piramidei
√
triunghiulare regulate cu latura bazei de lungime x s , i ˆın˘alt , imea de lungime 3”.

S˘a se calculeze partea ˆıntreag˘a a num˘arului

1 1 1 1
A = + + + . . . +
f(2) f(3) f(4) f(2018)

Mihai Burdus , a s , i Adrian T¸urcanu, Pites , ti

M 20. Fie V A 1 A 2 . . . A n piramid˘a cu baza poligonul A 1 A 2 . . . A n , n ∈ N, n ≥ 3, situat ˆıntr-un
plan α. Pentru p ∈ {2, 3, . . . , n − 1} arbitrar fixat, fie G 1 centrul de greutate al triunghiului
V A p−1 A p s , i G 2 centrul de greutate al triunghiului V A p A p+1 . Fie P ∈ (V A p−1 ) s , i R ∈ (V A p+1 ).
Ar˘atat , i c˘a PRkα dac˘a ¸si numai dac˘a PG 1 , V A p ¸si RG 2 sunt concurente.

Marian Haiducu, Pites , ti