Page 144 - MATINF Nr. 1

˘
144 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

1 1
M 7. a) Cˆate fract , ii cu num˘ar˘atorul 2018 sunt cuprinse ˆıntre s , i .
11 10
1 1
?
b) Cˆate fract , ii cu num˘ar˘atorul cel mult n sunt cuprinse ˆıntre s , i , n ∈ N ?
n + 1 n
Radu Deaconescu, Pites , ti
M 8. Produsul divizorilor naturali ai num˘arului natural n este 210 3240 . Scriind divizorii
num˘arului n ˆın ordine cresc˘atoare d 1 = 1 < d 2 < d 3 < ... < d k = n, ar˘atat , i c˘a d 1289 are cel put , in
11 cifre.

Florin Antohe, Galat , i
ˆ
M 9. In triunghiul ABC bisectoarea unghiului A s , i mediatoarea laturii AB se intersecteaz˘a
◦
ˆıntr-un punct M ∈ BC. S˘a se demonstreze c˘a m˘asura unghiului dintre ele este mai mare de 30 .
Marius Antonescu, Cos , es , ti, Arges ,
2
2 2
2
2
2
M 10. Fie p s , i q numere prime s , i S = p + q + p + q + pq + p q + pq + p q .
a) Ar˘atat , i c˘a S este un num˘ar compus.
b) Dac˘a p + q este divizibil cu 3, atunci ar˘atat , i c˘a S nu este p˘atrat perfect.

Mugurel Simion, S¸tef˘anes , ti, Arges ,

Clasa a VII-a

Ä ä Ä ä
c
a
c
a
b
M 11. Fie a, b, c numere naturale astfel ˆıncˆat n = 7 − 2 b 7 − 2 (7 − 2 ) este natural.
Ar˘atat , i c˘a n nu este p˘atrat perfect.
Marian Haiducu, Pites , ti
m(^B) + m(^C)
M 12. Fie ∆ABC cu m(^A) = . Dac˘a BD, respectiv CE sunt ˆın˘alt , imi ale
2
BC
triunghiului ABC, atunci ar˘atat , i c˘a DE = .
2
Corina Roxana M˘arcus , anu, Pites , ti
M 13. Dac˘a a, b, c, d sunt numerele reale pozitive demonstrat , i c˘a:
a 4 b 4 c 4 d 4
+ + + ≥ a + b + c + d. Cˆand are loc egalitatea?
2
2
2
2
b c c d d a a c
Dorin M˘arghidanu, Corabia
ˆ
M 14. In triunghiul ABC, mediatoarea laturii [BC] s , i bisectoarea unghiului A sunt concurente
ˆın punctul Q situat pe linia mijlocie [MN] a triunghiului ABC, M ∈ (AB), N ∈ (AC). Ar˘atat , i
c˘a triunghiurile MQB s , i NQC au arii diferite.
Mihai Burdus , a, Pites , ti
1 1 1 1
M 15. a) Fie S 1 = + + + . . . + . Ar˘atat , i c˘a
1 · 2 · 3 · 4 2 · 3 · 4 · 5 3 · 4 · 5 · 6 101 · 102 · 103 · 104
1
S 1 < .
18
b) Fie S 2 = 1 · 2 · 3 · 4 + 2 · 3 · 4 · 5 + 3 · 4 · 5 · 6 + . . . + 101 · 102 · 103 · 104. Ar˘atat , i c˘a S 2 nu
este p˘atrat perfect.

Radu Deaconescu, Pites , ti