Page 116 - MATINF Nr. 9-10

˘
116 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

ii) Tot conform Teoremei variabilelor egale, Corolarul 1.8, Cazul 3, punctul (a), pentru
n n n
P P n−2 P n−1
a
a
p = n−2 s , i q = n−1, dac˘ fix˘am a i s , i a i , atunci a i este minim˘ fie pentru a n = 0,
i=1 i=1 i=1
fie pentru 0 < a n ≤ a n−1 = . . . = a 1 .
Revenim la demonstrat , ia inegalit˘at , ii (2).
ˆ
Cazul 1. 0 < a n ≤ a n−1 = . . . = a 1 . In virtutea celor dou˘a rezultate de mai sus s , i
a
a
datorit˘ omogenit˘t , ii, putem presupune, f˘ar˘ a restrˆange generalitatea, c˘ a n−1 = . . . = a 1 = 1
a
a
ˆ
2
s , i a n = x ∈ (0, 1]. In urma unor calcule facile, (2) devine x(x − 1) (2x + 7) ≥ 0 pentru
2 n−3 2 n−4
n = 4, respectiv x(x − 1) [(n − 2) x + (n − 2n − 1) x + . . . + 2n − 1] ≥ 0 pentru n ≥ 5,
inegalit˘at , i adev˘arate, cu egalitate d.n.d. x = 1. As , adar ˆın Cazul 1 inegalitatea este adev˘arat˘a,
cu egalitate d.n.d. toate numerele sunt egale.
Cazul 2. a n = 0. Atunci (2) devine
n−1 n−1 n−1
X X X
(n − 1) a n−1 ≥ a i · a n−2 ,
i i
i=1 i=1 i=1
ı
a
a
inegalitate adev˘arat˘ conform Inegalit˘t ,ii lui Cebˆs , ev pentru secvent , ele finite s , i descresc˘atoare
(a 1 , . . . , a n−1 ) s , i a n−2 , . . . , a n−2 , cu egalitate d.n.d. a n−1 = · · · = a 1 .
n−1
1
Demonstratia este ˆıncheiat˘a.
Nota redact , iei. Pentru punctul b) nu am primit, deocamdat˘a, solut , ii corecte, deci problema
r˘amˆane deschis˘a.