Page 117 - MATINF Nr. 9-10

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 117

Probleme propuse pentru liceu

Clasa a IX-a

M 205. Fie a ≥ b ≥ c > 0 astfel ˆıncˆat ab + bc + ca = 1.

Demonstrat , i c˘a
a b c 3 1
2
+ + ≥ + (a − c) .
b + c c + a a + b 2 3

Cristinel Mortici, Viforˆata

M 206. Determinat , i numerele reale a, b, c ∈ (2022, 2023) astfel ˆıncˆat

1 1 1 1 1 1
+ + = 6 = + + .
a − 2022 b − 2022 c − 2022 2023 − a 2023 − b 2023 − c

George Mihai, Slatina

M 207. Fie x, y, z > 0 astfel ˆıncˆat xyz = 1 s , i fie k ∈ (0, 2]. Ar˘atat , i c˘a

(xy + z)(xz + y) (yz + x)(yx + z)
+
(x + yz)[1 + k(xy + z)(xz + y)] (y + zx)[1 + k(yz + x)(yx + z)]
(zx + y)(zy + x) 2
+ < .
(z + xy)[1 + k(zx + y)(zy + x)] k

a
Floric˘ Anastase, Lehliu-Gar˘a

M 208. Fie ABCD un dreptunghi cu AB = 8a s , i BC = 9a, unde a > 0. Fie punctele E, F s , i
−−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→
G astfel ˆıncˆat 3CE = 5ED, 4AF = 5FD s , i AG = 2GE.

a) Ar˘atat , i c˘a punctele C, F s , i G sunt coliniare.

b) Calculat , i aria patrulaterului DEGF.

Marin Chirciu, Pites , ti

M 209. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia

2
2
2
sin x cos x 80 (3 + cos 2x)
+ = .
6
8
8
1 − cos x 1 − sin x 224 + 32 cos 2x + sin 2x
2
Mih´aly Bencze, Bras , ov