Page 119 - MATINF Nr. 9-10

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 119

Clasa a XI-a

Ü ê
a − 1 0 0 −1
0 b − 1 −1 0
M 215. Fie matricea A = , unde a, b ∈ C.
0 2 b + 2 0
2 0 0 a + 2
∗
n
Calculat , i A , n ∈ N .
Marin Chirciu, Pites , ti
M 216. Fie triunghiul ABC astfel ˆıncˆat mediana din B, mediatoarea lui [BC] s , i ˆın˘alt , imea din
C sunt concurente.
a) Determinat , i valorile posibile ale unghiului B.

b) Exprimat , i valorile unghiurilor A s , i C ˆın funct , ie de valoarea unghiului B.
A
c) Calculat , i lim .
B→π C
B<π
Marcel T , ena s , i Mihai Prunescu, Bucures , ti
M 217. Studiat , i convergent , a s , irului (a n ) n≥1 definit prin
n
Y
a n = sin(1 + cos k), ∀ n ≥ 1.
k=1
Ionel Tudor, C˘alug˘areni s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
M 218. Determinat , i funct , ia g : R → R cu proprietatea c˘a graficul s˘au admite o asimptot˘a
a
orizontal˘ s , i
g(x) + g (x + g(x)) = 1, ∀ x ∈ R.
Cristinel Mortici, Viforˆata
M 219. Fie n ∈ N, n ≥ 4.

a
a) Determinat , i cea mai mic˘ constant˘a K n pentru care inegalitatea
Å ã 2
1 1 1 (a 1 − a n )
2
(a 1 + a 2 + . . . + a n ) + + . . . + ≤ n + K n ·
a 1 a 2 a n a 1 a n
are loc pentru orice numere reale a 1 ≥ a 2 ≥ . . . ≥ a n > 0.
b) Determinat , i cea mai mare constant˘ C n pentru care inegalitatea
a
1 1 1 (a 1 − a n )
Å ã 2
2
(a 1 + a 2 + . . . + a n ) + + . . . + ≥ n + C n ·
a 1 a 2 a n a 1 a n
are loc pentru orice numere reale a 1 ≥ a 2 ≥ . . . ≥ a n > 0.
c) Determinat , i cea mai mare constant˘ Λ n pentru care inegalitatea
a
1 1 1 (a n−1 − a n )
Å ã 2
2
(a 1 + a 2 + . . . + a n ) + + . . . + ≥ n + Λ n ·
a 1 a 2 a n a n−1 a n
are loc pentru orice numere reale a 1 ≥ a 2 ≥ . . . ≥ a n > 0.
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin