Page 120 - MATINF Nr. 9-10

˘
120 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Clasa a XII-a

M 220. Se consider˘a mult , imea

2 2

M = x + 8y k x, y ∈ N
s , i fie n un num˘ar natural.

a
a
S˘ se arate c˘a dac˘ 200n ∈ M, atunci s , i 804n ∈ M.
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

M 221. Fie polinomul f ∈ R[X],
4
2
2
3
f = X + 8mX + 24mX + (m + 6) X + 1, unde 0 ≤ m ≤ 1.
Ar˘atat , i c˘a polinomul f are exact dou˘ r˘ad˘acini reale.
a
Marin Chirciu, Pites , ti
M 222. Calculat , i

e sin 2x − 4ctg 2x π
Z x
dx, x ∈ kπ, kπ + , k ∈ Z.
x
2 + e sin 2x 2
Mih´aly Bencze, Bras , ov

M 223. Calculat , i
√
Z 10
I = x · [x] · {x} dx
0
a
a
(unde [x] s , i {x} reprezint˘ partea ˆıntreag˘a, respectiv partea fract , ionar˘ a num˘arului real x).
Dorin M˘arghidanu, Corabia

M 224. a) Determinat , i cea mai mare constant˘ real˘ k pentru care inegalitatea
a
a
√
2
6 abcd + k(a − d) ≤ ab + ac + ad + bc + bd + cd (3)
are loc pentru orice numere reale a ≥ b ≥ c ≥ d > 0.
1
b) Demonstrat , i c˘a dac˘a 4d ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d > 0 s , i k = , atunci inegalitatea (3) este
3
adeva˘rat˘a.
c)* (problemă deschisă) Fie n ∈ N, n ≥ 4. Determinat , i cea mai mare constanta˘

K n pentru care inegalitatea Ã
n
Y X
2
2
n(n − 1) n a + K n (a n−1 − a n ) ≤ 2 a i a j
i
i=1 1≤i<j≤n
are loc pentru orice numere reale a 1 ≥ a 2 ≥ . . . ≥ a n > 0.
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin