Page 118 - MATINF Nr. 9-10
P. 118
˘
118 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI
Clasa a X-a
M 210. Fie a, b, c, d, e, f numere reale nenegative astfel ˆıncˆat
ab + bc + cd + de + ef + fa = 6.
Demonstrat , i c˘a
2
2
2
2
2
2
(2a + 1) + (2b + 1) + (2c + 1) + (2d + 1) + (2e + 1) + (2f + 1) ≥ 54.
Vasile Cˆırtoaje, Ploies , ti
M 211. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia
9 x+1 − 4 · 6 x+1 + 4 x+2 = 1.
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
∗
M 212. Fie x 1 , x 2 , . . . , x n numere reale, n ∈ N , astfel ˆıncˆat
π
0 < x 1 < x 2 < . . . < x n < .
2
Demonstrat , i c˘a
sin 2x 1 + sin 2x 2 + . . . + sin 2x n + sin(x 2 − x 1 ) + sin(x 3 − x 2 ) + . . . + sin(x n − x n−1 )
π
< + sin(x 1 + x 2 ) + sin(x 2 + x 3 ) + . . . + sin(x n−1 + x n ).
2
Miguel Amengual Covas, Spania
M 213. Fie num˘arul
2022
6
3
0
A = C 2022 + C 2022 + C 2022 + . . . + C 2022 .
k
Determinat , i cel mai mare num˘ar natural k cu proprietatea c˘a 3 divide num˘arul A − 22.
Sorin Ulmeanu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
M 214. Fie P urm˘atoarea propozit , ie:
2
2
2
2
2
∀ x ∃ y ∃ z a.ˆı. x yz + x y − 2yz − 2y − z − 1 = 0.
S˘ se demonstreze c˘a:
a
a) P este fals˘a ˆın mult , imea numerelor ˆıntregi;
a
b) P este adev˘arat˘ ˆın mult , imea numerelor rat , ionale;
c) P este fals˘a ˆın mult , imea numerelor reale;
a
d) P este adev˘arat˘ ˆın mult , imea numerelor complexe.
Mihai Prunescu, Bucures , ti