Page 118 - MATINF Nr. 9-10
P. 118

˘
            118                                       PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI






                                                     Clasa a X-a



            M 210. Fie a, b, c, d, e, f numere reale nenegative astfel ˆıncˆat

                                            ab + bc + cd + de + ef + fa = 6.


                Demonstrat , i c˘a

                                                                               2
                                                       2
                                           2
                                                                   2
                               2
                                                                                           2
                       (2a + 1) + (2b + 1) + (2c + 1) + (2d + 1) + (2e + 1) + (2f + 1) ≥ 54.
                                                                                     Vasile Cˆırtoaje, Ploies , ti
            M 211. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia
                                               9 x+1  − 4 · 6 x+1  + 4 x+2  = 1.

                                                                        Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava

                                                            ∗
            M 212. Fie x 1 , x 2 , . . . , x n numere reale, n ∈ N , astfel ˆıncˆat
                                                                         π
                                              0 < x 1 < x 2 < . . . < x n <  .
                                                                         2

                Demonstrat , i c˘a

                  sin 2x 1 + sin 2x 2 + . . . + sin 2x n + sin(x 2 − x 1 ) + sin(x 3 − x 2 ) + . . . + sin(x n − x n−1 )
                                  π
                               <    + sin(x 1 + x 2 ) + sin(x 2 + x 3 ) + . . . + sin(x n−1 + x n ).
                                  2

                                                                            Miguel Amengual Covas, Spania

            M 213. Fie num˘arul
                                                                             2022
                                                               6
                                                       3
                                               0
                                        A = C  2022  + C 2022  + C 2022  + . . . + C 2022 .
                                                                                 k
                Determinat , i cel mai mare num˘ar natural k cu proprietatea c˘a 3 divide num˘arul A − 22.
                                                                    Sorin Ulmeanu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

            M 214. Fie P urm˘atoarea propozit , ie:

                                                      2
                                                                              2
                                                           2
                                                                    2
                                                  2
                                 ∀ x ∃ y ∃ z a.ˆı. x yz + x y − 2yz − 2y − z − 1 = 0.
                S˘ se demonstreze c˘a:
                 a
                a) P este fals˘a ˆın mult , imea numerelor ˆıntregi;
                                   a
                b) P este adev˘arat˘ ˆın mult , imea numerelor rat , ionale;
                c) P este fals˘a ˆın mult , imea numerelor reale;
                                   a
                d) P este adev˘arat˘ ˆın mult , imea numerelor complexe.
                                                                                 Mihai Prunescu, Bucures , ti
   113   114   115   116   117   118   119   120   121   122   123