Page 96 - MATINF Nr. 8

˘
96 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

M 163. Determinat ,i cel mai mic num˘ar real a pentru care inegalitatea

5
5
5
x + y + z ≥ 3
are loc pentru orice numere reale x, y, z ≥ a astfel ˆıncˆat x + y + z = 3.

Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

Solut ,ie. Dac˘a a = 0, atunci din Inegalitatea mediilor putere (a se vedea, de exemplu, pagina
web https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_mean#Inequality_between_any_two_power_
5
5
5
means) avem x + y + z ≥ 3 pentru orice x, y, z ≥ a cu x + y + z = 3. Prin urmare trebuie s˘
a
ˆ
5
studiem cazul a < 0. In acest caz, consider˘am funct , ia f : [a, 3 − 2a] → R, f (x) = x . Evident,
f este strict convex˘a pe intervalul [1, 3 − 2a].
Conform Teoremei funct ,iilor semi-convexe (Vasile Cˆırtoaje, 2004, a se vedea, de exem-
plu, pag. 83 din RMGO 1/2019 (http://rmgo.upit.ro)), inegalitatea f (x) + f (y) + f (z) ≥
x + y + z

a
a
3f = 3f (1) = 3 are loc pentru orice x, y, z ≥ a cu x+y +z = 3 dac˘ s , i numai dac˘
3
3 − a
ï ò
ˆ
5
5
2f (t) + f (3 − 2t) ≥ 3f (1) = 3 pentru orice t ∈ a, . In cazul nostru 2t + (3 − 2t) ≥ 3
2
ï ò ï ò
3 − a 2 3 − a
2
3
pentru orice t ∈ a, , adic˘a (t − 1) (t − 6t + 11t − 8) ≤ 0 pentru orice t ∈ a, .
2 2
2
3
a
a
Evident, dac˘ γ este o r˘ad˘acin˘ real˘ a ecuat , iei cubice t − 6t + 11t − 8 = 0, atunci γ > 0.
a
a
a
Cum 1, 2, 4 s , i 8 nu sunt r˘d˘acini ale acestei ecuat , ii, rezult˘ c˘ γ este un num˘ar irat , ional. Notˆand
a
1 Å 1 ã
3
t − 2 = u ecuat , ia devine u − u − 2 = 0. Luˆand u = √ v + , rezult˘a c˘a aceast˘a ecuat , ie
3 v

… … … …
26 26 26 26
are r˘ad˘acina real˘a unic˘a 3 1 + + 3 1 − . Astfel γ = 2 + 3 1 + + 3 1 − ,
27 27 27 27
2
2
3
2
deci γ > 3. Rezult˘a c˘a t − 6t + 11t − 8 = (t − γ) (t + mt + n), cu t + mt + n > 0 pentru
ï ò ï ò
3 − a 3 − a
2
2
3
orice t ∈ a, . Astfel condit , ia (t − 1) (t − 6t + 11t − 8) ≤ 0 pentru orice t ∈ a,
2 2
ï ò
3 − a 3 − a
este echivalent˘a cu t − γ ≤ 0 pentru orice t ∈ a, . Astfel − γ ≤ 0, adic˘a
2 2
!
… …
26 26
a ≥ 3 − 2γ = −1 − 2 3 1 + + 3 1 − .
27 27
!
… …
26 26
ˆ 3 1 + + 3 1 − .
In concluzie, num˘arul minim cerut este a = −1 − 2
27 27
M 164. Fie q > 1 un num˘ar real fixat. Consider˘am mult ,imea
4 2 2 2 2
S = (a, b, c, d) ∈ R | a + b + c + d = 4 s , i a + b + c + d = 4q
4
4
4
4
s , i funct ,ia E : S → R, E(a, b, c, d) = a + b + c + d + 12abcd.
Determinat ,i (a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) ∈ S pentru care E(a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) ≥ E(a, b, c, d), ∀ (a, b, c, d) ∈ S.
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin