Page 97 - MATINF Nr. 8

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 97

…
q − 1
Solut ,ie. Fie t = > 0 s , i polinomul f (u) = (u − a) (u − b) (u − c) (u − d). Avem
3
3
2
4
f (u) = u −4u +mu −nu+p, unde m = ab+bc+cd+da+ac+bd, n = abc+abd+acd+bcd
s , i p = abcd. Remarc˘am c˘a m = 8 − 2q, deci m este fixat. Din Relat ,iile lui Newton obt , inem
c˘a E (a, b, c, d) = 64q − 16m − 4mq + 16n + 8p. Cum f (−2) = 48 + 4m + 2n + p, obt , inem c˘a
E (a, b, c, d)−8f (−2) = F (q), deci E (a, b, c, d) = F (q)+8 (−2 − a) (−2 − b) (−2 − c) (−2 − d).
Astfel pentru a determina max E(a, b, c, d) este suficient s˘ determin˘am
a
max [(−2 − a) (−2 − b) (−2 − c) (−2 − d)] = max [(2 + a) (2 + b) (2 + c) (2 + d)] .

2
2
2
2
Not˘am 2+a = x, 2+b = y, 2+c = z, 2+d = w. Atunci x+y +z +w = 12 s , i x +y +z +w =
2
2
2
2
2
2
2
4 (9 + 3t ). Deci dac˘a s = 3 atunci x + y + z + w = 4s s , i x + y + z + w = 4 (s + 3t ).
Utilizˆand rezultatele din articolul Some Refinements of the AM-GM and Suranyi Inequalities
Å ã
2s
din RecMat 2/2020, avem c˘a dac˘a t ∈ 0, , adic˘a t ∈ (0, 2), atunci max xyzw se obt , ine
3
pentru permut˘arile lui (3 − t, 3 − t, 3 − t, 3 + 3t).
2s
Dac˘a t = , adic˘a t = 2, atunci analog solut , iei Problemei MGO 118 din RMGO 1/2020
3
avem c˘a max xyzw se obt , ine pentru permut˘arile lui (1, 1, 1, 9) sau pentru permut˘arile lui
√ √ √
Ä √ ä
3 − 2 3, 3 − 2 3, 3 + 2 3, 3 + 2 3 .
2s
Dac˘a t > , adic˘a t > 2, atunci conform rezultatelor din articolului ment , ionat mai sus,
3
Ä √ √ √ √ ä
max xyzw se obt , ine pentru permut˘arile lui 3 − t 3, 3 − t 3, 3 + t 3, 3 + t 3 .
ˆ
In concluzie: dac˘a 1 < q < 13 atunci
Ç … … … … å
q − 1 q − 1 q − 1 q − 1
(a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) = 1 − , 1 − , 1 − , 1 + 3
3 3 3 3
sau permut˘arile; dac˘a q = 13 atunci (a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) = (−1, −1, −1, 7) sau permut˘arile sau
√ √ √
Ä √ ä
(a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) = 1 − 2 3, 1 − 2 3, 1 + 2 3, 1 + 2 3 sau permut˘arile; dac˘a q > 13 atunci
√ √ √ √
(a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) = 1 − q − 1, 1 − q − 1, 1 + q − 1, 1 + q − 1 sau permut˘arile.