Page 98 - MATINF Nr. 8

˘
98 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Probleme propuse pentru liceu

Clasa a IX-a

a
a
M 185. Ar˘atat , i c˘ pentru orice numere naturale x 1 , x 2 , x 3 , supraunitare s , i distincte dou˘ cˆate
dou˘a, avem
Å ã Å ã Å ã
1 1 1 91
6 < 1 + 2 + 3 + ≤ .
x 1 x 2 x 3 8
Dorin M˘arghidanu, Corabia

M 186. Fie a, b, c > 0. Demonstrat , i c˘a

2
2
2
ab(a + 2b) bc(b + 2c) ca(c + 2a) 2 (a + b + c ) + ab + bc + ca
+ + ≤ .
2b + c 2c + a 2a + b 3
Mih´aly Bencze, Bras , ov

a
M 187. Fie n > 1 un num˘ar natural impar. Se consider˘ numerele reale a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , . . . , a n , b n
n
n
n
n
n
n
astfel ˆıncˆat a 1 b 1 = a 2 b 2 = . . . = a n b n s , i a + b = a + b = . . . = a + b . Fie mult , imile
1
2
2
n
n
1
A = {x ∈ R | ∃i = 1, n a.ˆı. a i = x} s , i B = {x ∈ R | ∃i = 1, n a.ˆı. b i = x}.
Ar˘atat , i c˘a avem card(A) = card(B) ∈ {1, 2}.
R˘amˆane concluzia adev˘arat˘a dac˘a n este num˘ar par?
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
a
M 188. Fie ABC un triunghi dreptunghic ˆın A s , i AD ⊥ BC, D ∈ BC. Dac˘ R, R 1 s , i R 2 sunt
lungimile razelor cercurilor circumscrise triunghiurilor ABC, ABD, respectiv ACD, iar r, r 1 s , i
a
r 2 sunt lungimile razelor cercurilor ˆınscrise ˆın aceste triunghiuri, s˘ se arate c˘a
√
R + R 1 + R 2
≥ 1 + 2.
r + r 1 + r 2

Cˆand are loc egalitatea?

Marin Chirciu, Pites , ti

M 189. Demonstrat , i c˘a ˆn orice triunghi ABC are loc inegalitatea
ı

X Y
l a l a
− ≤ 2.
h a h a
Daniel Jinga, Pites , ti