Page 91 - MATINF Nr. 8

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 91

Clasa a XI-a

ß 3 10 12
x y x = e
M 155. a) Cˆate solut ,ii are sistemul de ecuat ,ii , x, y ∈ S 4 ?
4 10 11
y x y = e
b) Aceeas , i cerint ,˘ pentru x, y ∈ S 5 .
a

Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

Solut ,ie. Folosind echivalent , ele αβ = e ⇔ β = α −1 ⇔ βα = e (pentru α, β ∈ S n ), sistemul dat
ß 15 10 ß 5 5
x y = e x = y
15 10 5
5
10 15
devine . Cu echivalent , a x y = e ⇔ x y y = x , sistemul devine .
10 15
x y = e x 25 = e
ß
x = e
a) Fie x, y ∈ S 4 . Cum x 24 = e (conform Teoremei lui Lagrange), sistemul devine ,
5
y = e
care are solut , ia unic˘a x = y = e (deoarece, conform Teoremei lui Lagrange, ˆın S 4 nu exist˘a
permut˘ari de ordin 5).
b) Fie x, y ∈ S 5 . Conform Teoremei lui Lagrange, ˆın S 5 nu exist˘a permut˘ari de ordin 25,
deci avem echivalent , ele
5
x 25 = e ⇔ x = e ⇔ x = e sau x = ciclu de lungime 5, adic˘ x = (1 i 1 i 2 i 3 i 4 ) cu
a
{i 1 , i 2 , i 3 , i 4 } = {2, 3, 4, 5}. Astfel x, y ∈ {e} ∪ {(1 i 1 i 2 i 3 i 4 ) | {i 1 , i 2 , i 3 , i 4 } = {2, 3, 4, 5}} . Deci
2
sistemul are ˆın total (1 + 4!) = 625 solut , ii.
∗
M 156. Fie m, n, p, q, r, s ∈ N \ {1} s , i A ∈ M m,n (C), B ∈ M n,p (C), C ∈ M p,m (C) astfel
s
r
q
ˆıncˆat (ABC) = ABC, (BCA) = BCA s , i (CAB) = CAB.
a
a) Demonstrat ,i c˘ rang (ABC) = rang (BCA) = rang (CAB).
a
a
b) R˘amˆane concluzia adev˘arat˘ dac˘ se renunt ,˘ la una dintre egalit˘at ,ile din ipotez˘a?
a
* * *

Solut ,ie. a) Vom folosi inegalit˘at , ile rang (XY ) ≤ rang (X) s , i rang (XY ) ≤ rang (Y ), pentru
orice X ∈ M m,n (C) s , i Y ∈ M n,p (C).

q
a
a
Astfel, din ABC = (ABC) = A(BCA)BC(ABC) q−2 rezult˘ c˘ rang (ABC) ≤ rang (BCA).
Analog se obt , ine c˘a rang (BCA) ≤ rang (CAB) s , i rang (CAB) ≤ rang (ABC), prin urmare
rang (ABC) = rang (BCA) = rang (CAB).
s
b) R˘aspunsul este NU. De exemplu, dac˘a se renunt , ˘a la egalitatea (CAB) = CAB, putem
lua matricele A, B, C definite prin

ß ß ß
a
1, dac˘ i = j = 1 1, dac˘ i = 1 s , i j = 2 1, dac˘ i = j = 1
a
a
a ij = , b ij = , c ij =
0, ˆın rest 0, ˆın rest 0, ˆın rest
r
q
s , i avem BC = O n,m , deci (ABC) = ABC = O m s , i (BCA) = BCA = O n , dar ABC = O m s , i
CAB ̸= O p , deci rang (CAB) ̸= 0 = rang (ABC).