Page 99 - MATINF Nr. 8

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 99

Clasa a X-a

M 190. a) Fie a, b ∈ R, 0,8 < a < 1, fixate. Demonstrat , i c˘a o infinitate de numere de forma
√
n + an + b, unde n ∈ N, au cifra zecimilor egal˘a cu 4.
2
√ b) Fie a, b, c ∈ R, 1,2 < a < 1,5, fixate. Demonstrat , i c˘a o infinitate de numere de forma
3 3 2
n + an + bn + c, unde n ∈ N, au cifra zecimilor egal˘a cu 4.

Cristinel Mortici, Viforˆata

M 191. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia

2
3 · 2 2x + 6 · 3 2x + 9 · 2 4x + 6 2x+2 + 36 · 3 4x = 49x + 7|x|.

Daniel Jinga, Pites , ti

M 192. a) Rezolvat , i ˆın R × R ecuat , ia

4
2

4
3x + 1 3y + 1 = 12xy x + y 2 − 8.
b) Cˆate solut , ii are aceast˘ ecuat , ie ˆın C × C?
a
Miguel Amengual Covas, Spania s , i Doru Anastasiu Popescu, Romˆania

M 193. Determinat , i valorile reale ale lui k pentru care inegalitatea

k + 3
2
(a + b + c − 1) + k − 1 ≥ · (a + b)(b + c)(c + a)
8
are loc pentru orice numere reale nenegative a, b s , i c astfel ˆıncˆat

ab + bc + ca + abc ≤ 4.

Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin

M 194. Fie ABC un triunghi. Demonstrat , i c˘a pentru orice punct M situat pe cercul ˆınscris
triunghiului ABC aven

Å r ã Å r ã Å r ã
2
2
2
2
10r ≤ 1 − MA + 1 − MB + 1 − MC ≤ 5Rr.
r a r b r c
Cˆand au loc egalit˘at , ile?

Marin Chirciu, Pites , ti