Page 100 - MATINF Nr. 8

˘
100 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Clasa a XI-a

∗
M 195. Fie n ∈ N s , i permutarea σ ∈ S 2n definit˘ prin
a
σ(i) = i + (−1) i−1 , i = 1, 2n,

Cˆate solut , ii x ∈ S 2n are ecuat , ia xσ = σx?

Sorin Ulmeanu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

a
M 196. Dac˘ a, b s , i x sunt numere reale care verific˘a relat , iile
ß
a cos x − b sin x = cos 2x
a sin x + b cos x = 2 sin 2x
√ √
∗
3
iar z este num˘arul complex z = 3 a + b + i a − b, determinat , i x ∈ R s , i n ∈ N astfel ˆıncˆat
n
z = 1 + i.
Marin Chirciu, Pites , ti

M 197. Fie a > 0 un num˘ar real fixat s , i fie s , irul (x n ) n≥1 definit prin

x 1 = a s , i nx n+1 = (n + 1) ax n + na n+1 , ∀ n ≥ 1.

n 2
n 2 X k
Ñ Ã é +
n
Y x n k=1 x k
Calculat , i limita L = lim n 2 x k .
n→∞
k=1
a
Floric˘ Anastase, Lehliu-Gar˘a
9
2
3
M 198. Fie funct , ia f : R → R, f(x) = x + x + mx + 1, unde m > − .
4
Ar˘atat , i c˘a ecuat , ia f(x) = 0 are exact o solut , ie real˘a.

Daniel Jinga, Pites , ti

a
M 199. Determinat , i cea mai mare constant˘ k ≥ 1 pentru care inegalitatea
1 1 1 3
+ + ≤
(ka + b + c) 2 (kb + c + a) 2 (kc + a + b) 2 (k + 2) 2

are loc pentru orice numere reale nenegative a, b s , i c astfel ˆıncˆat ab + bc + ca = 3.

Vasile Cˆırtoaje, Ploies , ti s , i Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin