Page 95 - MATINF Nr. 8

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 95

4x + 3x + 2
Z 4 2
M 161. Calculat ,i dx, x ∈ (0, ∞).
x + x + x
3
5
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava

Z 4 2
4x + 3x + 2
a
Solut ,ie (Daniel V˘acaru, Pites , ti). Integrala dat˘ se poate descompune astfel: dx =
5
3
x + x + x
Z 4 2 Z 4 Z 5 3 ′ Z Å 3 ã
5x + 3x + 1 1 − x (x + x + x) 1 2x + x
dx + dx = dx + − dx =
3
5
3
4
2
5
3
5
x + x + x x + x + x x + x + x x x + x + 1
(x + x + x) 1 1 (x + x + 1) (x + x + x) x
Z 5 3 ′ Z Z 4 2 ′ 5 3
dx + dx − dx = ln √ + C.
5
3
2
4
x + x + x x 2 x + x + 1 x + x + 1
4
2
λ a + b λ−x
x
Z
M 162. Fie a, b, λ > 0, a ̸= b. Ar˘atat ,i c˘ x λ−x dx > λ.
a
0 b + a
Marin Chirciu, Pites , ti (Enunt , modificat)
λ a + b λ−x λ a λ−t + b t
x
Z Z
Solut ,ie. Fie I = x λ−x dx. Cu substitut , ia x = λ − t obt , inem I = λ−t t dt.
0 b + a 0 b + a
x
Z λ a + b λ−x Z λ a λ−x + b x Z λ
Prin adunare rezult˘a c˘a 2I = x λ−x dx + λ−x x dx = f(x) dx, unde f(x) =
0 b + a 0 b + a 0
x
x
a + b λ−x b + a λ−x
+ , pentru orice x ∈ [0, λ]. Evident, f(x) ≥ 2 pentru orice x ∈ [0, λ], iar
b + a λ−x a + b λ−x
x
x
x
a + b λ−x
x
x
egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a = 1, adic˘a a − b = a λ−x − b λ−x . Aceast˘a
b + a λ−x
x
x
x
ecuat , ie are forma g(x) = g(λ − x), unde g(x) = a − b , pentru orice x ∈ [0, λ]. Avem
′
x
x
a
g (x) = a ln a − b ln b. Putem presupune, f˘ar˘ a restrˆange generalitatea, c˘ a > b.
a
′
Cazul 1. Dac˘a a ≥ 1, atunci g (x) > 0 pentru orice x ∈ [0, λ], deci g este strict cresc˘atoare,
λ λ
deci ecuat , ia g(x) = g(λ − x) are doar solut , ia x = . Astfel f(x) > 2 pentru orice x ̸= .
2 2
a ln b
x
′
Cazul 2. Dac˘a a < 1, atunci ecuat , ia g (x) = 0 se scrie = , adic˘a x = x 0 , unde
b ln a
ln b
x 0 = log a > 0.
b ln a
′
Cazul 2.1. Dac˘a x 0 ≥ λ, atunci g (x) > 0 pentru orice x ∈ [0, λ), deci din nou g este strict
λ
cresc˘atoare, deci f(x) > 2 pentru orice x ̸= .
2
′
′
Cazul 2.2. Dac˘a x 0 < λ, atunci g (x) > 0 pentru orice x ∈ [0, x 0 ) s , i g (x) < 0 pentru
orice x ∈ (x 0 , λ], deci g este strict cresc˘atoare pe [0, x 0 ] s , i strict descresc˘atoare pe [x 0 , λ]. Cum
λ
λ
g(0) = 0 s , i g(λ) = a − b > 0, rezult˘a c˘a exist˘a x 1 ∈ (0, x 0 ) a.ˆı. g(x 1 ) = g(λ), g(x) < g(λ)
pentru orice x < x 1 s , i g(x) ≥ g(λ) pentru orice x ≥ x 1 , deci ecuat , ia g(x) = y are solut , ie unic˘a
ß ™
λ
pentru orice y ∈ [0, g(λ)), prin urmare ecuat , ia g(x) = g(λ − x) nu are solut , ii x ∈ [0, x 1 ) \ .
2
λ
Astfel f(x) > 2 pentru orice x ∈ [0, x 1 ), x ̸= .
2
λ λ
Z Z
ˆ f(x) dx > 2 dx = 2λ, deci I > λ.
In concluzie, rezult˘a c˘a 2I =
0 0