Page 101 - MATINF Nr. 8

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 101

Clasa a XII-a

M 200. Fie G un grup abelian. Ar˘atat , i c˘a dac˘a exist˘a a, b, c ∈ G astfel ˆıncˆat ord (a) = 4,
a
ord (b) = 5 s , i ord (c) = 6, atunci exist˘ x ∈ G astfel ˆıncˆat ord (x) = 60.
R˘amˆane concluzia adev˘arat˘a dac˘a se renunt , ˘ la ipoteza c˘ grupul G este abelian?
a
a
* * *
M 201. Fie x 1 , x 2 , . . . , x 2n , y 1 , y 2 variabile, n ≥ 1. Definim urm˘atoarele polinoame:

2n
X
k
S k = x , k = 1, 4,
i
i=1
2
2 2
2
P = S 4 − 2(y 1 + y 2 )S 3 + (y + 4y 1 y 2 + y )S 2 − 2y 1 y 2 (y 1 + y 2 )S 1 + 2ny y .
1 2 1 2
a) Ar˘atat , i c˘a pentru orice y 1 , y 2 ∈ Z exist˘ x 1 , x 2 , . . . , x 2n ∈ Z astfel ˆıncˆat
a
P(x 1 , x 2 , . . . , x 2n , y 1 , y 2 ) = 0.
a
a
b) Ar˘atat , i c˘ dac˘ numerele x 1 , x 2 , . . . , x 2n ∈ Z satisfac P(x 1 , x 2 , . . . , x 2n , y 1 , y 2 ) = 0 pentru
anumit , i y 1 , y 2 ∈ Z, atunci cel put , in n dintre aceste 2n numere sunt egale.
Mihai Prunescu, Bucures , ti

M 202. Fie f : [0, 1] → R o funct , ie cresc˘atoare s , i derivabil˘a, cu f(0) = 0. Demonstrat , i c˘a

Z 2 Å ã
1
′
(3 − x)f (ln x) dx ≥ 2f .
2
1
Cristinel Mortici, Viforˆata
a
M 203. Fie f : [0, 1] → R o funct , ie continu˘ astfel ˆıncˆat
Z 1
Ä √ ä
f(x) dx = ln 1 + 2 .
0
√
2
a
Ar˘atat , i c˘a exist˘ c ∈ (0, 1) astfel ˆıncˆat c + 1 · f(c) = 1.
Mih´aly Bencze, Bras , ov
1
M 204. Fie n ∈ N, n ≥ 2 s , i fie x 1 , x 2 , . . . , x 2n ≥ numere reale astfel ˆıncˆat
4n − 2
X
x i x j ≥ n(2n − 1).
1≤i<j≤2n

Demonstrat , i c˘a
2n
2n X 1
2
2
(2n − 1) 8n − 8n + 1 X x i − n ≥ 2n(n − 1)(4n − 1) .
x i
i=1 i=1
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin s , i Vasile Cˆırtoaje, Ploies , ti