Page 86 - MATINF Nr. 8

˘
86 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

M 147. Determinat ,i valorile reale pozitive ale lui p pentru care inegalitatea
√ √ √
a + b + c ≥ 3
2
are loc pentru orice a, b, c ≥ 0 astfel ˆıncˆat a ≤ b ≤ c, a + b + c = ab + bc + ca > 0 s , i bc = p .

Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin
2
2
Solut ,ie. Fie a + b + c = ab + bc + ac = k. Din (a + b + c) ≥ 3 (ab + bc + ac) rezult˘a k ≥ 3k,
iar din k > 0 rezult˘ k ≥ 3. Deoarece a ≤ b ≤ c, avem bc ≥ ca ≥ ab, deci cum ab + bc + ac ≥ 3
a
rezult˘a bc ≥ 1, adic˘a p ≥ 1. Not˘am b + c = 2s. Din Inegalitatea mediilor, s ≥ p ≥ 1. De
2s − p 2 p 2
2
asemenea, a = . Deoarece a ≥ 0 s , i 2s − 1 > 0, avem 2s − p ≥ 0, deci s ≥ . Astfel
2s − 1 2
ß 2 ™
p
s ≥ max p, . Observ˘am c˘a s = p dac˘a s , i numai dac˘a b = c. De asemenea, pentru orice
2
2s − p 2
p ≥ 1 fixat, funct , ia φ (s) = este cresc˘atoare pe domeniul s˘au maxim de definit , ie. Avem
2s − 1

√ √ √ p 2s − p 2
a + b + c = 2s + 2p + .
2s − 1

√ 2s − p 2 ï p 2 ã
Cazul 1. 2 < p. Atunci funct , ia f (s) = 2s + 2p + este cresc˘atoare pe , ∞ ,
2s − 1 2
ca sum˘a de funct , ii cresc˘atoare. Astfel
Å ã
2s − p 2 p 2
p p
2
2s + 2p + = f (s) ≥ f = p + 2p.
2s − 1 2
p 2
ˆ
2
2
2
Ar˘at˘am ˆıntˆai c˘a putem avea s = . Intr-adev˘ar, r˘ad˘acinile ecuat , iei t − p t + p = 0
2
Ä ä Ä ä Ä ä
p p p
2
2
p p − p − 4 p p + p − 4 p p − p − 4
2
sunt < . Astfel, pentru a = 0, b = s , i
2 2 2
Ä ä
p
2
p p + p − 4
c = toate condit , iile date sunt verificate. Pentru a ˆıncheia rezolvarea acestui
2 î√
p ä
2
caz, rezolv˘am inecuat , ia p + 2p ≥ 3 s , i obt , inem p ∈ 10 − 1, ∞ .

√ 2s − p 2
Cazul 2. p ∈ [1, 2]. Atunci funct , ia f (s) = 2s + 2p + este cresc˘atoare pe [p, ∞),
2s − 1
ca sum˘a de funct , ii cresc˘atoare. Astfel

2s − p 2 √ p (2 − p)
p
2s + 2p + = f (s) ≥ f (p) = 2 p + .
2s − 1 2p − 1
p (2 − p)
a
ı
Observ˘am c˘ numerele a = s , i b = c = p verific˘ toate condit , iile date. Pentru a ˆncheia
a
2p − 1

√ p (2 − p) √ î √ ó
rezolvarea acestui caz, rezolv˘am inecuat , ia 2 p + ≥ 3. Luˆand p = x ∈ 1, 2 ,
2p − 1
ñ √ ô ñ √ ô
10 + 1 11 + 2 10
2
2
aceasta devine, succesiv: (x − 1) (3x − 2x − 3) ≤ 0; x ∈ 1, ; p ∈ 1, .
3 9
√
ñ ô
11 + 2 10 î√ ä
Conform celor dou˘a cazuri, obt , inem c˘a p ∈ 1, ∪ 10 − 1, ∞ .
9