Page 89 - MATINF Nr. 8

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 89

a(a + 2b + c) b(b + 2c + d) c(c + 2d + a)
b) p + p + p
3 3 3
(a + 3b)(a + 3c)(a + 3d) (b + 3c)(b + 3d)(b + 3a) (c + 3d)(c + 3a)(c + 3b)
d(d + 2a + b)
≥ a + b + c + d.
+p
3
(d + 3a)(d + 3b)(d + 3c)
Mih´aly Bencze, Bras , ov

Solut ,ie (Daniel V˘acaru, Pites , ti; Titu Zvonaru, Com˘anes , ti). Conform Inegalit˘t ,ii mediilor, avem
a
a + 3b + a + 3c + a + 3d
»
(a + 3b) (a + 3c) (a + 3d) ≤ = a + b + c + d
3
3
s , i analoagele. Astfel, dac˘a not˘am cu E 1 s , i E 2 expresiile din membrii din stˆanga ai inegalit˘at , ilor
a
de la punctele a), respectiv b), rezult˘ c˘
a
a b c d
E 1 ≥ + + + = 1,
a + b + c + d a + b + c + d a + b + c + d a + b + c + d
a(a + 2b + c) b(b + 2c + d) c(c + 2d + a) d(d + 2a + b)
E 2 ≥ + + +
a + b + c + d a + b + c + d a + b + c + d a + b + c + d
2
2
2
2
a + b + c + d + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd (a + b + c + d) 2
= = = a + b + c + d.
a + b + c + d a + b + c + d
M 152. Fie a, b > 0 cu a > b + 1. Rezolvat ,i ˆın mult ,imea numerelor reale ecuat ,ia
9
x
3
(a + b) + (a − b) x = 2 a + 3ab 2 .
Sorin Ulmeanu, Pites , ti

Solut ,ie. Dac˘ x < 0, atunci
a
9
0
3
x
0
3
(a + b) + (a − b) x ≤ (a + b) + (a − b) = 2 < 2a < 2 a + 3ab 2 ,
deci nu avem solut , ii x < 0.
a
Dac˘ x > 0, atunci fie funct , iile
9
x
f 1 , f 2 , f : (0, ∞) → R, f 1 (x) = (a + b) , f 2 (x) = (a − b) x s , i f = f 1 + f 2 .
f 1 s , i f 2 sunt strict convexe, f 1 fiind funct , ie exponent , ial˘a, iar f 2 compunerea dintre o funct , ie
9
x
exponent , ial˘a strict cresc˘atoare (x → (a − b) ) s , i una strict convex˘a (x → ), deci s , i f este
x
3
2
strict convex˘a. Rezult˘a c˘a ecuat , ia f(x) = 2 (a + 3ab ) are cel mult dou˘a solut , ii. Prin calcule,
se arat˘a c˘a x 1 = 3 s , i x 2 = 3 log a+b (a − b) sunt solut , ii s , i x 1 ̸= x 2 , deci acestea sunt singurele
solut , ii ale ecuat , iei date.
2π 2π
M 153. Fie ε = cos + i sin , unde n ∈ N, n ≥ 2. Ar˘atat ,i c˘ produsul
a
n n
√ √ 2 √ n−1 √
P = n + n n n + ε · n n n + ε · n n · . . . · n + ε · n n

este un num˘ar natural par.

Ionel Tudor, C˘alug˘areni