Page 85 - MATINF Nr. 8

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 85

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU
CONCURSURI

Rezolvarea problemelor pentru liceu din MATINF nr. 6

Clasa a IX-a

a
a
M 145. Demonstrat ,i c˘ dac˘
1 1 m
∗
1 + + . . . + = , m, n ∈ N ,
2 99 n
atunci 6m − 11n se divide cu 103.

Cristinel Mortici, Viforˆata

Solut ,ie. Avem

1 1 1 1 1 m 1 1 1
1 + + . . . + + + + = + + +
2 99 100 101 102 n 100 101 102
100 · 101 · 102 · m + (100 · 101 + 101 · 102 + 102 · 100)n
=
100 · 101 · 102 · n
Å ã Å ã Å ã
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
s , i cum 1+ +. . .+ + + + = 1 + + + +. . .+ + iar 103 este
2 99 100 101 102 102 2 101 51 52
a
num˘ar prim, rezult˘ c˘ num˘arul A = 100·101·102·m+(100·101+101·102+102·100)n se divide cu
a
103. Dar A = {(−3) · (−2) · (−1) · m + [(−3) · (−2) + (−2) · (−1) + (−1) · (−3)] n} mod 103 =
(−6m + 11n) mod 103, deci 6m − 11n se divide cu 103.

M 146. Ar˘atat ,i c˘ pentru orice numere reale a, b, c s , i d avem
a
4
4

1 + a 4 1 + b 4 1 + c 4 1 + d 4 ≥ max (ab + cd) , (ac + bd) , (ad + bc) 4 .
Dorin M˘arghidanu, Corabia

4
4
4
4
Solut ,ie (Titu Zvonaru, Com˘anes , ti). Fie E = (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ).
Aplicˆand Inegalitatea lui H¨older avem
Ä√ √ ä 4
4
4
4
4
4
E = a + 1 b + 1 1 + c 4 1 + d 4 ≥ 4 a · b · 1 · 1 + 4 1 · 1 · c · d 4
4 4 4
= (|ab| + |cd|) ≥ |ab + cd| = (ab + cd) .
4
4
Analog, avem E ≥ (ac + bd) s , i E ≥ (ad + bc) , prin urmare rezult˘ inegalitatea din enunt , .
a
Not˘a. Domnul Daniel V˘acaru din Pites , ti a propus o alt˘ rezolvare, folosind Inegalitatea lui
a
Huygens.