Page 87 - MATINF Nr. 8

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 87

M 148. Fie ABCD un dreptunghi cu AB = a, AD = b, a > b s , i fie punctele M ∈ (BC) s , i
N ∈ (CD) astfel ˆıncˆat BM = mb s , i DN = na, m, n ∈ (0, 1).

a
a
a
a) Demonstrat ,i c˘ [AC este bisectoarea unghiului MAN dac˘ s , i numai dac˘ are loc egalitatea
Å 2 ã Å 2 ã Å 2 2 ã 2
2a 2b a + b
− m + n = .
2
2
2
a − b 2 a − b 2 a − b 2
b) Pentru a = 28 s , i b = 21, ar˘atat ,i c˘a nu exist˘a M ∈ (BC) s , i N ∈ (CD) astfel ˆıncˆat
segmentele CM s , i CN s˘a aib˘a lungimile numere naturale s , i [AC s˘a fie bisectoarea unghiului
MAN.
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

b − mb
Solut ,ie (Titu Zvonaru, Com˘anes , ti). a) Avem tg (∢CAM) = tg(∢CAB − ∢MAB) = a a =
a + mb 2
a 2
ab(1 − m) ab(1 − n)
s , i, analog, tg (∢CAN) = . Prin urmare, avem: ∢CAM ≡ ∢CAN ⇔
2
2
a + mb 2 b + na 2
ab(1 − m) ab(1 − n)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
= ⇔ b + na − mb − mna = a + mb − na − mnb ⇔ 2na −
2
2
a + mb 2 b + na 2
2 2
2 2
2na 2 2mb 2 4a b 4a b
2
2
2
2
2
2mb − mn(a − b ) = a − b ⇔ − − mn + = 1 + ⇔
2
2
a − b 2 a − b 2 (a − b ) 2 (a − b ) 2
2
2
2
2
Å 2 ã Å 2 ã Å 2 2 ã 2
2a 2b a + b
− m + n = .
2
2
2
a − b 2 a − b 2 a − b 2
b) Deoarece segmentele AB s , i BC au lungimile numere naturale, dac˘a segmentele CM s , i
CN ar avea lungimile numere naturale atunci s , i segmentele BM s , i DN ar avea lungimile numere
naturale. Fie p = BM = 21m < 21 s , i q = DN = 28n < 28, p, q ∈ N. Conform punctului a)
avem relat , ia
2 · 28 p 2 · 21 q 28 + 21
Å 2 ã Å 2 ã Å 2 2 ã 2
− + = .
2
2
2
28 − 21 2 21 28 − 21 2 28 28 − 21 2
4
Obt , inem c˘a (96 − p)(72 + q) = 3 · 4 · 5 .
ˆ
Incercˆand pentru p valorile 1, 2, 3, . . . , 20 (acelea pentru care 96 − p este divizor al lui 7500),
nu obt , inem nicio solut , ie.
a
M 149. Demonstrat ,i c˘ ˆın orice triunghi ABC avem
Å ã 2
Ä 2 2 2 √ ä 1 1 1 9 OG
a + b + c + 4S 3 + + + · ≥ 18.
a 2 b 2 c 2 2 R 2
Nguyen Van Huyen, Vietnam
2
2
2
2
2
Solut ,ie (Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin). Avem 9OG = 9R − (a + b + c )
abc
s , i R = . Deci inegalitatea se rescrie ca
4S
Å ã Å 2 2 2 2 ã
Ä 2 2 2 √ ä 1 1 1 1 16S (a + b + c )
a + b + c + 4S 3 + + + · 9 − ≥ 18.
2 2 2
a 2 b 2 c 2 2 a b c
p
2 2
4
4
2 2
4
2 2
De asemenea, conform Formulei lui Heron, 4S = 2 (a b + b c + c a ) − (a + b + c ).
2
2
2
Not˘am a = x > 0, b = y > 0 s , i c = z > 0. F˘ar˘a a restrˆange generalitatea, putem
2
presupune c˘a x + y + z = 3. Atunci xy + yz + zx = 3 (1 − t ) , 0 ≤ t < 1.