Page 8 - MATINF Nr. 8

8 T. Zvonaru, B.M. Ionit , ˘
a

Solut ,ie. Conform Lemei 4 avem:

x y z
+ +
p p p
x + (x + y) (x + z) y + (y + x) (y + z) z + (z + x) (z + y)
x y z
≤ √ √ + √ √ + √ √
x + xy + xz y + yx + yz z + zx + zy
√ √ √
x y z
= √ √ √ + √ √ √ + √ √ √ = 1.
x + y + z x + y + z x + y + z

Aplicat , ia 8. Fie a, b, c numere reale pozitive astfel ˆıncˆat ab + bc + ca = 1, atunci avem
inegalitatea:
a b c 3
√ + √ + √ ≤ .
2
2
2
a + 1 b + 1 c + 1 2
Solut ,ie. Conform Lemei 2 s , i Aplicat , iei 2 avem:

a b c a b c 3
√ + √ + √ = p + p + p ≤ .
2
2
2
a + 1 b + 1 c + 1 (a + b) (a + c) (b + c) (b + a) (c + a) (c + b) 2
Aplicat , ia 9. Fie a, b, c numere reale pozitive astfel ˆıncˆat a+b+c = abc, atunci avem inegalitatea:
1 1 1 3
√ + √ + √ ≤ .
1 + a 2 1 + b 2 1 + c 2 2
Olimpiada Coreea de Sud, 1998

1 1 1
Solut ,ie. Aplicˆand substitut , iile x = , y = , z = condit , ia a + b + c = abc devine
a b c
x y z 3
xy + yz + zx = 1, iar inegalitatea de demonstrat devine: √ + p + √ ≤ ,
1 + x 2 1 + y 2 1 + z 2 2
a
care este adev˘arat˘ conform Lemei 2 s , i Aplicat , iei 2.
Aplicat , ia 10. Fie a, b, c numere reale pozitive atunci avem inegalitatea:

x 2 y 2 z 2 1
+ + ≥ .
(x + 2y) (x + 2z) (y + 2z) (y + 2x) (z + 2x) (z + 2y) 3
Petre B˘atrˆanet , u, GM 3/2012

Solut ,ie. Aplicˆand Lema 6 avem

x 2 y 2 z 2
+ +
(x + 2y) (x + 2z) (y + 2z) (y + 2x) (z + 2x) (z + 2y)

2
2
x 2 y 2 z 2 x + y + z 2
≥ + + = .
(x + y + z) 2 (x + y + z) 2 (x + y + z) 2 (x + y + z) 2
Trebuie demonstrat˘a inegalitatea

2
2
x + y + z 2 1
2
2
2
2
2
2
2
≥ ⇔ 3(x + y + z ) ≥ (x + y + z) ⇔ x + y + z ≥ xy + yz + xz (1) ,
2
(x + y + z) 3
care este cunoscut˘a.