Page 6 - MATINF Nr. 8

6 T. Zvonaru, B.M. Ionit , ˘
a

2
2
2
Lema 8. Pentru a, b numere reale pozitive, avem inegalitatea: (1 + a ) (1 + b ) ≥ (1 + ab) .
1 1 1
Lema 9. Pentru a, b numere reale pozitive, avem inegalitatea: 2 + 2 ≥ .
(1 + a) (1 + b) 1 + ab

Prezent˘am ˆın continuare cˆateva probleme propuse la diferite concursuri sau reviste, pentru
care lemele de mai sus ˆıs , i vor dovedi utilitatea.

Aplicat , ia 1. Fie a, b, c numere reale pozitive astfel ˆıncˆat a + b + c = 1, atunci avem inegalitatea:
√ √ √
ab + c + bc + a + ca + b ≤ 2.

Olimpiada Mexic, 2007

Solut ,ie. Aplicˆand Lema 1 s , i inegalitatea mediilor, avem:
√ √ √ » » »
ab + c + bc + a + ca + b = (a + b)(a + c) + (b + a)(b + c) + (c + a)(c + b)

a + b + a + c + b + a + b + c + c + a + c + b
≤ = 2.
2

Aplicat , ia 2. Fie a, b, c numere reale pozitive astfel ˆıncˆat a + b + c = 1, atunci avem inegalitatea:
c a b 3
√ + √ + √ ≤ .
c + ab a + bc b + ca 2
Kostas Geronikolas, Romanian Mathematical Magazine

Solut ,ie. Folosind Lema 1 s , i inegalitatea mediilor, avem:

c a b … c · c … a · a b · b
√ + √ + √ = + +
c + ab a + bc b + ca (a + c)(b + c) (b + a)(c + a) (b + a)(c + b)
Å ã
1 c c a a b b 3
≤ + + + + + = .
2 a + c b + c b + a c + a c + b b + a 2
1
Egalitatea are loc atunci cˆand a = b = c = .
3
Aplicat , ia 3. Fie x, y, z numere reale pozitive astfel ˆıncˆat x+y +z = 1, atunci avem inegalitatea:

1 1 1 9
√ + √ + √ ≥ .
x + yz y + zx z + xy 2

Solut ,ie. Aplicˆand Lema 1, inegalitatea mediilor s , i Lema 5, obt , inem:

1 1 1 1 1 1
√ + √ + √ = p + p + p
x + yz y + zx z + xy (x + y)(x + z) (y + z)(y + x) (z + x)(z + y)

9
≥ p p p
(x + y)(z + x) + (y + z)(x + y) + (z + x)(y + z)
9 9
=
≥ p
(x + y + y + z + z + x)(z + x + x + y + y + z) 2