Page 6 - MATINF Nr. 8
P. 6

6                                                                         T. Zvonaru, B.M. Ionit , ˘
                                                                                                           a


                                                                                                         2
                                                                                   2
                                                                                           2
            Lema 8. Pentru a, b numere reale pozitive, avem inegalitatea: (1 + a ) (1 + b ) ≥ (1 + ab) .
                                                                                 1          1          1
            Lema 9. Pentru a, b numere reale pozitive, avem inegalitatea:           2  +        2  ≥       .
                                                                             (1 + a)     (1 + b)    1 + ab

                Prezent˘am ˆın continuare cˆateva probleme propuse la diferite concursuri sau reviste, pentru
            care lemele de mai sus ˆıs , i vor dovedi utilitatea.

            Aplicat , ia 1. Fie a, b, c numere reale pozitive astfel ˆıncˆat a + b + c = 1, atunci avem inegalitatea:
                                           √          √          √
                                             ab + c +   bc + a +   ca + b ≤ 2.

                                                                                     Olimpiada Mexic, 2007

            Solut ,ie. Aplicˆand Lema 1 s , i inegalitatea mediilor, avem:
                 √          √          √          »                  »                  »
                   ab + c +   bc + a +   ca + b =   (a + b)(a + c) +    (b + a)(b + c) +   (c + a)(c + b)

                                     a + b + a + c + b + a + b + c + c + a + c + b
                                  ≤                                                = 2.
                                                           2

            Aplicat , ia 2. Fie a, b, c numere reale pozitive astfel ˆıncˆat a + b + c = 1, atunci avem inegalitatea:
                                              c          a           b       3
                                          √        + √         + √        ≤ .
                                            c + ab      a + bc     b + ca    2
                                                    Kostas Geronikolas, Romanian Mathematical Magazine


            Solut ,ie. Folosind Lema 1 s , i inegalitatea mediilor, avem:

                                                                                          
                   c           a          b       …       c · c       …      a · a               b · b
                √        + √        + √         =                  +                   +
                  c + ab     a + bc      b + ca      (a + c)(b + c)     (b + a)(c + a)      (b + a)(c + b)
                                   Å                                                ã
                                 1     c       c       a        a       b        b       3
                              ≤           +        +       +        +       +         = .
                                 2   a + c   b + c   b + a    c + a   c + b    b + a     2
                                                         1
            Egalitatea are loc atunci cˆand a = b = c = .
                                                         3
            Aplicat , ia 3. Fie x, y, z numere reale pozitive astfel ˆıncˆat x+y +z = 1, atunci avem inegalitatea:

                                             1           1           1        9
                                         √         + √         + √         ≥ .
                                           x + yz      y + zx      z + xy     2


            Solut ,ie. Aplicˆand Lema 1, inegalitatea mediilor s , i Lema 5, obt , inem:

                  1           1           1               1                   1                   1
              √        + √         + √         = p                  + p                 + p
                x + yz      y + zx      z + xy      (x + y)(x + z)       (y + z)(y + x)      (z + x)(z + y)

                                                             9
                               ≥ p                   p                   p
                                    (x + y)(z + x) +    (y + z)(x + y) +    (z + x)(y + z)
                                                           9                            9
                                                                                     =
                                ≥ p
                                     (x + y + y + z + z + x)(z + x + x + y + y + z)     2
   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11