Page 7 - MATINF Nr. 8

Leme s , i inegalit˘at , i 7

Aplicat , ia 4. Fie a, b, c numere reale pozitive astfel ˆıncˆat a + b + c = 1, atunci avem inegalitatea:

…
ab bc ca 3
+ + ≤ .
c + ab a + bc b + ca 2

Open Olympiad of FML No 239, Rusia

Solut ,ie. Folosind Lema 1 s , i inegalitatea mediilor, obt , inem:

… …
ab bc ca ab bc ca
+ + = + +
c + ab a + bc b + ca (a + c)(b + c) (b + a)(c + a) (c + b)(a + b)
1 Å a b b c c a ã 3
≤ + + + + + = .
2 a + c b + c b + a c + a c + b b + a 2
Aplicat , ia 5. Fie a, b, c numere reale pozitive astfel ˆıncˆat a + b + c = 1, atunci avem inegalitatea:
√ √ √ √ √ √
ab + c + bc + a + ca + b ≥ 1 + ab + bc + ca.

Olimpiada Ucraina, 2004

Solut ,ie. Aplicˆand Lema 1 s , i Lema 3 avem:

√ √ √ » » »
ab + c + bc + a + ca + b = (a + c)(b + c) + (b + a)(c + a) + (b + a)(c + b)
√ √ √ √ √ √
≥ a + bc + b + ca + c + ab = 1 + ab + bc + ca.
1 1 1
Aplicat , ia 6. Fie a, b, c numere reale pozitive astfel ˆıncˆat + + = 1, atunci avem inegalitatea:
a b c
√ √ √ √ √ √ √
a + bc + b + ca + c + ab ≥ abc + a + b + c.

APMO, 2002
√
Solut ,ie. Prin simplificare cu termenul abc, inegalitatea de demonstrat devine
√ √ √ √ √ √ √
ab + c + bc + a + ca + b ≥ abc + a + b + c

… … … … … …
1 1 1 1 1 1 1 1 1
⇔ + + + + + ≥ 1 + + + .
c ab a bc b ac bc ac ab
1 1 1
Folosind urm˘atoarele substitut , ii = x, = y , = z, inegalitatea de demonstrat devine:
a b c
Fie x, y, z numere pozitive astfel ˆıncˆat x + y + z = 1, atunci avem urm˘atoarea inegalitate:
√ √ √ √ √ √
x + yz + y + zx + z + xy ≥ 1 + xy + yz + zx care este Aplicat , ia 5.

Aplicat , ia 7. Fie x, y, z numere reale pozitive, atunci avem inegalitatea:
x y z
+ + ≤ 1.
p p p
x + (x + y) (x + z) y + (y + x) (y + z) z + (z + x) (z + y)
Walther Janous, Crux Mathematicorum, Vol. 17, Nr. 6 (Iunie, 1991)