Page 9 - MATINF Nr. 8

Leme s , i inegalit˘at , i 9

Aplicat , ia 11. Fie a, b, c numere reale pozitive astfel ˆıncˆat a + b + c = 1, s˘a se demonstreze
inegalitatea:
√ √ √ √
4a + 1 + 4b + 1 + 4c + 1 ≥ 5 + 2.

a
Cosmin Pohoat , ˘, Mathematical Reflections Nr. 5, 2014
√ √ √ √ √
Solut ,ie. Aplicˆand Lema 7 avem 1 + 4a+ 1 + 4b+ 1 + 4c ≥ 1+ 1 + 4a + 4b+ 1 + 4c ≥
√
√
√
1 + 1 + 1 + 4a + 4b + 4c = 2 + p 1 + 4 (a + b + c) = 2 + 1 + 4 = 2 + 5.
2
2
2
Aplicat , ia 12. S˘ se demonstreze c˘ dac˘ x, y, z ≥ 1 s , i n ≥ 1 num˘ar real astfel ˆıncˆat x +y +z =
a
a
a
2
a
n + 2, atunci este adev˘arat˘ inegalitatea: x + y + z ≥ n + 2.
Solut ,ie. Folosind Lema 7, obt , inem
√ p √ p √
2
2
2
2
2
2
x+y+z = 1 + x − 1+ 1 + y − 1+ 1 + z − 1 ≥ 1+ 1 + x − 1 + y − 1+ 1 + z − 1
p
2
2
2
≥ 1 + 1 + 1 + x + y − 2 + z − 1 = 2 + n.
a
Aplicat , ia 13. Fie a, b, c numere reale pozitive astfel ˆıncˆat ab + bc + ca = 1. Demonstrat , i c˘
ab bc ca 3
≤ .
p + p + p
2
2
(1 + a ) (1 + b ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + c ) (1 + a ) 4
2
2
2
2
RMT Nr. 3, 2012
a
Solut ,ie. Aplicˆand Lema 8 este suficient s˘ demonstr˘am c˘
a
ab bc ca 3 1 + ab − 1 1 + bc − 1 1 + ca − 1 3
+ + ≤ ⇔ + + ≤
1 + ab 1 + bc 1 + ca 4 1 + ab 1 + bc 1 + ca 4
1 1 1 9
⇔ + + ≥ .
1 + ab 1 + bc 1 + ca 4
1 1 1 9 9
Aplicˆand inegalit˘at , ile mediilor avem + + ≥ = .
1 + ab 1 + bc 1 + ca 3 + ab + bc + ca 4
a
Aplicat , ia 14. Fie x, y numere reale pozitive, atunci s˘ se demonstreze inegalitatea:
1 1 2
√ 2 + √ ≥ .
2
(1 + x) 1 + y x + y + 2

a
Olimpiad˘ nat , ional˘ Indonezia, 2008
a
1 1 1
Solut ,ie. Aplicˆand Lema 9 avem √ 2 + √ ≥ √ .
2
(1 + x) 1 + y 1 + xy
1 2 √ √
a
Este suficient s˘ ar˘t˘am c˘ √ ≥ ⇔ x + y + 2 ≥ 2 + 2 xy ⇔ x + y ≥ 2 xy,
a
a
1 + xy x + y + 2
adev˘arat˘a.