Page 5 - MATINF Nr. 8

˘
ARTICOLE SI NOTE DE MATEMATICA
,

Leme si inegalit˘ati
,
,

1
a
Titu Zvonaru s , i Bogdan-Marius Ionit , ˘ 2

Scopul acestei note este acela de a prezenta unele rezultate simple, care sunt utile pentru
ˆ
solut , ionarea unor inegalit˘at , i, condit , ionate sau nu. In afara inegalit˘at , ilor clasice, este util ca
a
un rezolvitor nu foarte experimentat s˘ aib˘ la dispozit , ie cˆateva idei de abordare pentru unele
a
probleme ce apar ˆın reviste sau concursuri.
ˆ a a a
Incepem cu dou˘ identit˘t , i care se vor dovedi utile ˆın rezolvarea unor inegalit˘t , i condit , ionate.

Lema 1. Dac˘a a, b, c sunt numere reale astfel ˆıncˆat a + b + c = 1, atunci avem relat , ia:
(a + b) (a + c) = a + bc.

2
Demonstrat¸ie. (a + b) (a + c) = a + ac + ba + bc = a (a + b + c) + bc = a + bc.
Lema 2. Dac˘a a, b, c sunt numere reale astfel ˆıncˆat ab + bc + ca = 1, atunci avem relat , iile:
2
2
2
a + 1 = (a + b) (a + c), b + 1 = (b + a) (b + c) , c + 1 = (c + a) (c + b).
2
2
Demonstrat¸ie. a + 1 = a + ab + bc + ca = a (a + b) + c (b + a) = (a + b) (a + c).
a
Des , i este bine cunoscut˘ inegalitatea general˘a, vom folosi urm˘atoarele cazuri particulare ale
inegalit˘at , ii lui Cauchy - Buniakovski - Schwarz:

p
a
Lema 3. Dac˘ a, b, c sunt numere reale pozitive, atunci avem inegalitatea: (a + b) (a + c) ≥
√ √ √
a + bc. Pentru a + b + c = 1, ultima inegalitate se poate scrie a + bc ≥ a + bc.
p
Lema 4. Dac˘ a, b, c sunt numere reale pozitive, atunci avem inegalitatea: (a + b) (a + c) ≥
a
√ √
ab + ac.
a
a
Lema 5. Dac˘ a, b, c, x, y, z sunt numere reale pozitive, atunci este adev˘arat˘ inegalitatea:
√ p √ »
ax + by + cz ≤ (a + b + c)(x + y + z).

Prezent˘am alte inegalit˘at , i utile de ret , inut, a c˘aror demonstrat , ie o l˘as˘am cititorilor.

2
a
Lema 6. Dac˘ a, b, c sunt numere reale pozitive, atunci (a + 2b) (a + 2c) ≤ (a + b + c) .
√ √
Lema 7. Pentru numerele reale pozitive a, b este adev˘arat˘a inegalitatea: 1 + a + 1 + b ≥
√
1 + 1 + a + b.
1
Com˘anes , ti, tzvonaru@yahoo.com
2
Bucures , ti, cilibimoise@hotmail.com
5