Page 104 - MATINF Nr. 7

˘
104 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

n n n
P k 00 P k−2 2 00 P k
kx , pentru orice x ∈ (0, 1), s , i f (x) = k (k − 1) x , deci x f (x) = k (k − 1) x =
k=1 k=2 k=2
n n n n
P k P 2 k P k P 2 k 0
k (k − 1) x = k x − kx = k x − xf (x), pentru orice x ∈ (0, 1) . As , adar
k=1 k=1 k=1 k=1
n
P 2 k 2 00 0
k x = x f (x) + xf (x), deci pentru orice x ∈ (0, 1) avem
k=1
n 2
n
n
n
n
X n (n + 1) x n−1 (x − 1) − 2 [nx (x − 1) − x + 1] nx (x − 1) − x + 1
2 k
2
k x = x · + x · .
(x − 1) 3 (x − 1) 2
k=1
α n
Lem˘a. Dac˘a α > 0 s , i x ∈ (0, 1) atunci lim n x = 0.
n→∞
 ‹
α n+1
(n + 1) x n + 1 α
ˆ = · x → x ∈ (0, 1) (pentru n → ∞), conform
Intr-adev˘ar, cum
α n
n x n
Criteriului 1 al raportului, rezult˘a concluzia lemei.
n 2x 2 x x (x + 1) ∞ x (x + 1)
P 2 k P 2 k
Conform lemei, lim k x = + = , adic˘a k x = ,
n→∞ (1 − x) 3 (1 − x) 2 (1 − x) 3 (1 − x) 3
k=1 k=1
2
2
∞
1 P k 2 e (e + 1)
pentru orice x ∈ (0, 1) . Pentru x = obt , inem = . Demonstr˘amˆın continuare
e 2 k=1 e 2k (e − 1) 3
2
y (y + 1) 1
2
2
3
c˘a ≤ pentru y = e . Inegalitatea este echivalent˘a cu y − 7y − y − 1 ≥ 0. Avem
(y − 1) 3 4
0
2
2
3
2
3
(x − 7x − x − 1) = 3x − 14x − 1, deci funct , ia x − 7x − x − 1 este strict cresc˘atoare pe
 ‹  ‹
36 36 3 36 2 36
3
2
2
2
[6, ∞). Cum y = e > 2,7 > , rezult˘a c˘a y − 7y − y − 1 > − 7 − − 1 =
5 5 5 5
1296 36 36
− − 1 > 10 − − 1 > 0. Demonstrat , ia este ˆıncheiat˘a.
125 5 5
M 137. Fie S suma solut ,iilor din intervalul (0, 2π) ale ecuat ,iei (tg x) tg x = 3 sin x .
 ‹
4π 3π
Ar˘atat ,i c˘a S ∈ , .
3 2
Daniel Jinga, Pites , ti
§ ª
π 3π
Solut ,ie. Din condit , iile de existent , ˘a rezult˘a c˘a x ∈ (0, 2π) \ , π, .
2 2
 ‹
π 3π

Cazul 1. Dac˘a tg x > 0, atunci x ∈ 0, ∪ π, s , i prin logaritmare ecuat , ia devine
2 2
π
tg x ln tg x = ln 3 sin x, adic˘a ln tg x = ln 3 cos x, (1), adic˘a 3 cos x = tg x. Pentru x ∈ 0,
2
π
observ˘am c˘a x = este solut , ie unic˘a, deoarece 3 cos x este funct , ie strict descresc˘atoare, iar tg x
3  ‹ • ‹
3π 5π 3π
este funct , ie strict cresc˘atoare. Fie acum x ∈ π, . Dac˘a x ∈ , , atunci tg x ≥ 1,
2 4 2 • ‹
7π 5π
deci ln tg x ≥ 0, iar ln 3 cos x < 0, deci conform (1) ecuat , ia nu are solut , ii. Dac˘a x ∈ , ,
√ 6 4
1 ln 3 2 ln 3
atunci tg x ≥ √ , deci ln tg x ≥ − , iar ln 3 cos x < − · ln 3 < − , deci din nou
3  2 ‹ 2 2
7π
ecuat , ia nu are solut , ii. Dac˘a x ∈ π, , atunci considerˆand funct , ia f(x) = 3 cos x − tg x
6