Page 94 - MATINF Nr. 6

˘
94 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Clasa a XII-a

M 160. a) Determinat , i n ∈ N, n ≥ 2 pentru care inelul (Z n , +, ·) al claselor de resturi modulo
n are exact 11 divizori ai lui zero (diferit , i de zero).

b) Care este cardinalul minim al unui inel cu exact 11 divizori ai lui zero (diferit , i de zero)?

* * *

4x + 3x + 2
Z 4 2
M 161. Calculat , i dx, x ∈ (0, ∞).
x + x + x
3
5
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
λ a + b λ−x
x
Z
M 162. Fie a, b, λ > 0, a 6= b. Ar˘atat , i c˘a x λ−x dx > λ.
0 b + a
Marin Chirciu, Pites , ti

M 163. Determinat , i cel mai mic num˘ar real a pentru care inegalitatea

5
5
5
x + y + z ≥ 3
are loc pentru orice numere reale x, y, z ≥ a astfel ˆıncˆat x + y + z = 3.

Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

M 164. Fie q > 1 un num˘ar real fixat. Consider˘am mult , imea

4 2 2 2 2
S = (a, b, c, d) ∈ R | a + b + c + d = 4 s , i a + b + c + d = 4q
4
4
4
4
s , i funct , ia E : S → R, E(a, b, c, d) = a + b + c + d + 12abcd.
Determinat , i (a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) ∈ S pentru care
E(a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) ≥ E(a, b, c, d), ∀ (a, b, c, d) ∈ S.

Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin