Page 80 - MATINF Nr. 6

˘
80 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Solut ,ie. Inegalitatea este evident˘a dac˘a toate numerele a i sunt 0. Presupunem acum c˘a nu
toate numerele a i sunt 0. Conform Inegalit˘at ,ii Cauchy-Buniakowski-Schwarz avem

3
2
3

2
a + a + . . . + a 3 (a 1 + a 2 + . . . + a n ) ≥ a + a + . . . + a 2 2 ,
1 2 n 1 2 n
2 4
2
2
3 2
n
2
1
3
3
deci (n − 1) (a + a + . . . + a ) ≥ (n − 1) (a + a + . . . + a ) . Cum, conform ipotezei,
n
1
2
(a 1 + a 2 + . . . + a n ) 2
2 4
2 4
2
2
2
2
(n − 1) (a + a + . . . + a ) ≥ (n − 1) (a + a + . . . + a ) = a + a + . . . + a 2 3 ,
1
n
1
n
2
2
2

2
2
2
2
(a 1 + a 2 + . . . + a n ) 2 (n − 1) (a + a + . . . + a ) 1 2 n
2
1
n
rezult˘a inegalitatea din enunt , . Remarc˘am c˘a dac˘a unul dintre numerele a i este 0 s , i celelalte
n − 1 sunt egale, atunci inegalitatea devine egalitate.
ˆ
M 104. In triunghiul ABC se consider˘a ˆın˘alt ,imile BE s , i CF, unde E ∈ (AC), F ∈ (AB) s , i
−−→ −−→ −→
fie D ∈ (BC) astfel ˆıncˆat DA = BE + CF.
BD AC 2
a) Ar˘atat ,i c˘a = .
DC AB 2
b) Dac˘a AD este ˆın˘alt ,ime, median˘a sau bisectoare, atunci 4ABC este echilateral.
Daniel Jinga, Pites , ti
AE AF BD −−→ 1 −→ k 1 −−→
Solut ,ie. a) Fie = k 1 , = k 2 s , i = α. Avem BE = BA + BC =
EC FB DC 1 + k 1 1 + k 1
−→ −→ −→ −→ −→ −−→ 1 −→ α −→ −−→ −−→ −→
k 1 k 2
AC−AB, CF = AB−AC s , i DA = − AB− AC. Cum DA = BE+CF
1 + k 1 1 + k 2 1 + α 1 + α
−→ −→ k 2 1 k 1 α
s , i AB s , i AC sunt necoliniari, rezult˘a c˘a − 1 = − s , i − 1 = − , deci
1 + k 2 1 + α 1 + k 1 1 + α
k 2 = α, (1), s , i k 1 k 2 = 1, (2). Dar 4AEF ∼ 4ABC (deoarece patrulaterul BCEF
AF AE
este inscriptibil), deci notˆand = = x avem AF = xb s , i AE = xc, (3). Din (2)
b c
AE AF
2
2
2
2
rezult˘a · = 1, deci conform (3) obt , inem x bc = bc − b x − c x + x bc, prin
b − AE c − AF
2
2
bc b c b c c 3
urmare x = , AF = , FB = c − = . Utilizˆand s , i (1) obt , inem
2
2
2
2
b + c 2 b + c 2 b + c 2 b + c 2
BD AF b 2
= α = k 2 = = .
DC FB c 2
AF BD CE
b) Dac˘a AD este ˆın˘alt , ime, conform Teoremei lui Ceva avem · · = 1, adic˘a
FB DC EA
1
3
k 2 · α · = 1, deci α = 1. Rezult˘a c˘a α = 1, deci k 1 = k 2 = 1. Astfel BE s , i CF sunt s , i
k 1
ˆın˘alt , imi s , i mediane, deci 4ABC este echilateral.
Dac˘a AD este median˘a, rezult˘a c˘a α = 1, deci din nou avem k 1 = k 2 = 1 s , i astfel 4ABC
este echilateral.
c
Dac˘a AD este bisectoare, conform Teoremei bisectoarei rezult˘a c˘a α = , deci, conform a),
b
c b 2
= . Prin urmare b = c, deci AD este s , i ˆın˘alt , ime s , i astfel, conform demonstrat , iei de mai sus,
b c 2
4ABC este echilateral.