Page 12 - MATINF Nr. 6

O rafinare si o extindere a Problemei MGO 115
,

Leonard Mihai Giugiuc 1

ˆ
In num˘arul 3 al RMGO, autorul propune urm˘atorul rezultat:
2
2
2
2
Fie a, b, c s , i d numere reale nenegative,astfel incat a + b + c + d = 2. Atunci: a + b + c +
d − abc − abd − acd − bcd ≤ 2. Demonstrat , ia se g˘aseste ˆın numarul 4 al RMGO.
ˆ
In continuare vom rafina s , i extinde acest rezultat la n variabile, cu n ≥ 3.
n
P 2
Teorema 1. Fie n ≥ 3 s , i fie numerele reale nenegative a 1 , . . . , a n , astfel ˆıncˆat a = 2.
i
i=1
Atunci:
n
X X X
2 a i a j ≤ a i + 3 a i a j a k .
1≤i<j≤n i=1 1≤i<j<k≤n

Demonstrat¸ie. Vom utiliza Principiul induct , iei matematice. Demonstr˘am prima dat˘a pentru
3
P 2
n = 3. Avem: a 1 , . . . , a 3 ≥ 0 s , i a = 2.
i
i=1
‚ Œ Ê
3 3
P P P 1 P 2
Aratam: 2 a i a j ≤ a i + 3a 1 a 2 a 3 ⇐⇒ 2 a i a j 2 · a i
1≤i<j≤3 i=1 1≤i<j≤3 i=1
! !
3 3
X 1 X
≤ a i · a 2 + 3a 1 a 2 a 3 . (1)
2 i
i=1 i=1
Vom ar˘ata c˘a (1) este valid˘a pentru toate numerele reale a 1 , . . . , a 3 ≥ 0.

Este suficient s˘a studiem dou˘a cazuri:

Cazul 1. a 1 = a 2 = 1 s , i a 3 = x ∈ [0, 1], s , i Cazul 2. a 3 = 0.
ˆ p 2 (x + 2) ≤ x + 2x + 8x + 4, (∀) x ∈ [0, 1] ⇔
2
3
2
In primul caz avem de ar˘atat c˘a 2 (2x + 1)
ˆ
2
4
2
3
x (x + 4x − 12x + 8x + 8) ≥ 0, ceea ce este evident adev˘arat, (∀) x ∈ [0, 1]. In cel de-al
Ê Ê
2  2 ‹  2 ‹  2 ‹ 2
2
2
doilea caz arat˘am c˘a (2a 1 a 2 ) 1 · P a ≤ P a i 1 · P a 2 , sau 2a 1 a 2 ≤ P a i 1 · P a ,
2 i 2 i 2 i
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
ceea ce este evident adevar˘at din AM-GM.
n−1
P 2
Fie acum n ≥ 4 fixat. Presupunem ca pentru orice a 1 , . . . , a n−1 ≥ 0, astfel incat a = 2
i
i=1
n−1
P P P
are loc 2 a i a j ≤ a i + 3 a i a j a k s , i ar˘at˘am c˘a pentru orice a 1 , . . . , a n ≥ 0,
1≤i<j≤n−1 i=1 1≤i<j<k≤n−1
1
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Traian”, Drobeta Turnu Severin, leonardgiugiuc@yahoo.com
12