Page 110 - MATINF Nr. 3

˘
110 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

î √ ó î √ ó
π 1 3 π 1 π 3
g 1 0, = , , f 2 0, = − , 0 , g 2 0, = −1, − , iar funct , iile f s , i g sunt
2 2 2 2 2 2 2

continue, deci f 0, π s , i g 0, π sunt intervale, rezult˘a c˘a (f, g) ∈ (f k , g k ) | k = 0, 2 .
2 2
π/2 π/2
Z
Pentru (f, g) = (f 0 , g 0 ) aria cerut˘a este (f 0 (x) − g 0 (x)) dx = 3 (g 0 (x) + f 0 (x)) =
√ 0 0
Z π/2
3( 3 − 1) π/2
, pentru (f, g) = (f 1 , g 1 ) aria este =
2 0 (g 1 (x) − f 1 (x)) dx = 3 (−f 1 (x) − g 1 (x)) 0
√ Z π/2 π/2
3( 3 − 1), iar pentru (f, g) = (f 2 , g 2 ) aria este (f 2 (x) − g 2 (x)) dx = 3 (g 2 (x) + f 2 (x)) =
√ 0 0
3( 3 − 1)
. Deci aria este maxim˘a pentru (f, g) = (f 1 , g 1 ) s , i minim˘a pentru (f, g) = (f 0 , g 0 ) sau
2
(f, g) = (f 2 , g 2 ).
0
0
M 40. Fie f : [0, 1] → R o funct ,ie derivabil˘a astfel ˆıncˆat f(0) = 0, f (0) = 1, 0 < f (x) < 1
00
∗
pentru orice x ∈ (0, 1] s , i exist˘a f (0) ∈ R . Fie s , irul (x n ) n≥0 astfel ˆıncˆat x 0 ∈ (0, 1] s , i
x n + f(x n )
x n+1 = , pentru orice n ≥ 0. Demonstrat ,i c˘a 0 < x n+1 < x n ≤ 1 pentru orice n ∈ N
2
s , i ar˘atat ,i c˘a
Ç å
x n 4
Z Å ã 2
lim n 3 f(x) dx = .
00
n→∞ f (0)
x n+1
Florin St˘anescu, G˘aes , ti
Solut ,ie. Considerˆand funct , ia ϕ : [0, 1] → R, ϕ(x) = f(x) − x, avem c˘a ϕ este derivabil˘a,
0
0
deci continu˘a, s , i ϕ (x) = f (x) − 1 < 0 pentru orice x ∈ (0, 1]. Astfel ϕ este strict des-
cresc˘atoare, deci pentru orice x ∈ (0, 1] avem ϕ(x) < ϕ(0) = 0, adic˘a f(x) < x. Folosind
aceast˘a inegalitate, prin induct , ie dup˘a n se arat˘a us , or c˘a 0 < x n+1 < x n ≤ 1 pentru orice
n ∈ N, deci s , irul (x n ) n≥0 este convergent. Fie L = lim x n . Trecˆand la limit˘a ˆın relat , ia de
n→∞
recurent , ˘a obt , inem c˘a L = f(L), cu L ∈ [0, 1]. Dar f(x) < x pentru x ∈ (0, 1], deci L = 0.
Z
x n
Conform Teoremei de medie, pentru orice n ∈ N exist˘a c n ∈ (x n+1 , x n ) a.ˆı. f(x) dx =
x n+1
Z Å ã
x n x n + f(x n )
3
3
·
·
(x n − x n+1 )f(c n ), deci n 3 f(x) dx = n f(c n ) x n − = 1 f(c n ) c n · (nx n ) ·
2 2 c n x n
x n+1
x n − f(x n )
, (1). Utilizˆand Criteriul cles , telui rezult˘a c˘a lim c n = 0. Folosind Regula lui
x 2 n n→∞
f(x n )
1 +
f(c n ) f(x) x n+1
0
L’Hospital obt , inem c˘a lim = lim = lim f (x) = 1, lim = lim x n = 1
x→0 x x→0 n→∞ 2
n→∞ c n n→∞ x n
00
0
0
0
x n − f(x n ) x − f(x) 1 − f (x) 1 f (x) − f (0) f (0)
s , i lim = lim = lim = − · lim = − . Deoa-
n→∞ x 2 x→0 x 2 x→0 2x 2 x→0 x 2
n
x n+1 c n x n c n
rece < < , aplicˆand Criteriul cles , telui rezult˘a c˘a lim = 1. De asemenea, aplicˆand
x n x n x n n→∞ x n
n 1 1
Lema Stolz-Cesaro avem lim nx n = lim = lim = lim =
n→∞ n→∞ 1 n→∞ 1 1 n→∞ 2 1
− −
x n x n+1 x n x n + f(x n ) x n
f(x n )
1 +
x n (x n + f(x n )) 2 4
ˆ
lim = lim x n = = − . Inlocuind ˆın (1) obt , inem
00
00
n→∞ x n − f(x n ) n→∞ x n − f(x n ) f (0) f (0)
−
x 2 2
Ç å n
Z Å ã 3 Å 00 ã Å ã 2
x n 1 4 f (0) 4
lim n 3 f(x) dx = · 1 · 1 · − · − = .
00
00
n→∞ 2 f (0) 2 f (0)
x n+1