Page 105 - MATINF Nr. 3

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 105

M 30. Fie ABC un triunghi nedreptunghic, O centrul cercului circumscris acestuia, iar D, E
s , i F mijloacele laturilor [BC], [AC] s , i respectiv [AB]. Fie DO ∩ AC = {X}, EO ∩ AB = {Y }
s , i FO ∩ BC = {Z}. Ar˘atat ,i c˘a

2 2 2 2 2 2
AX BY CZ (a − b )(b − c )(c − a )
· · =
XC Y A ZB a b c
2 2 2
(notat ,iile fiind cele obis , nuite).

Van Khea, Cambodgia s , i Leonard Giugiuc, Romˆania

Solut ,ia 1. Consider˘am planul complex cu originea ˆın O s , i c˘a cercul circumscris are raza 1,
AX z A + βz C
deci avem |z A | = |z B | = |z C | = 1. Not˘am = β, deci z X = . D, O, X coliniare
XC 1 + β
1 β
+
Å ã
z X − z O z A + βz C z A + βz C z A + βz C z A z C z A + βz C
⇒ ∈ R ⇒ ∈ R ⇒ = ⇒ =
z D − z O z B + z C z B + z C z B + z C 1 1 z B + z C
+
z B z C
2 Å ã
z − z B z C 2 2 1 1
A
⇒ β = . Dar a = |z B − z C | = (z B − z C )(z B − z C ) = (z B − z C ) − =
z A (z B − x C ) z B z C
2
(z B − z C ) 2 (z A − z C ) 2 (z A − z B ) 2 (z B − z C )(z − z B z C )
2
2
− s , i, analog, b −c = − + = − A . Rezult˘a
z B z C z A z C z A z B z A z B z C
2
2
2
2
2
2
2
b − c 2 AX b − c BY c − a CZ a − b
c˘a β = , deci = . Analog, = s , i = , iar prin
a 2 XC a 2 Y A b 2 ZB c 2
ˆınmult , ire obt , inem egalitatea din enunt , .
a
Solut ,ia 2. Din triunghiul dreptunghic CDX avem XC = , deci utilizˆand Teorema
2| cos C|
2
2
2
2
a b a b b(b − c )
cosinusului avem XC = . Rezult˘a c˘a AX = b − = ,

2
2
2
a + b − c
2
|a + b − c | a + b − c 2 2 2 2
2
2
2
AX |b − c |
deci = . Concluzia este imediat˘a.
XC a 2
Clasa a XI-a
M 31. Fie A, B ∈ M n (C) astfel ˆıncˆat A = 2AB − BA. Demonstrat ,i c˘a
det(AB − BA) = 0.
ˆ
(In leg˘atur˘a cu problema XI.459, R.M.T. nr. 2/2017, punctul a).)
Daniel Jinga, Pites , ti
Solut ,ie (Leonard Giugiuc, Drobeta Turnu Severin). Avem A(I n −B) = AB −BA s , i (I n −B)A =
n
2(AB − BA), deci notˆand I n − B = C obt , inem CA = 2AC. Rezult˘a c˘a det(AC) = 2 det(AC),
deci det(AC) = 0, adic˘a det(AB − BA) = 0. Ment , ion˘am c˘a pentru n = 3 se obt , ine problema
XI.459, R.M.T. nr. 2/2017, punctul a).