Page 106 - MATINF Nr. 3

˘
106 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

M 32. Ar˘atat ,i c˘a pentru orice matrice A, B ∈ M 2 (R) au loc urm˘atoarele inegalit˘at ,i:

2
2
a) det(A + B − BA) ≥ det(AB − BA);
2
2
b) det ((A − B)(A + B) − 2(A + B )) ≥ 4 det(AB − BA).
Florin St˘anescu, G˘aes , ti
√
−1 + i 3
2
Solut ,ie (Leonard Giugiuc, Drobeta Turnu Severin). a) Fie u = , deci u = u = −1−u s , i
2
2
3
2
u = 1. Avem det ((A + uB)(A + uB)) ∈ [0, ∞), adic˘a det (A + B − BA + u(AB − BA)) ∈
Å ã Å ã
a b x y
2
2
[0, ∞). Fie A + B − BA = s , i AB − BA = , ambele matrice fiind din
c d z t
ÅÅ ã Å ãã
a b x y
2
M 2 (R). Obt , inem det + u = ad−bc+u (xt−yz)+u(at+dx−bz −cy) =
c d z t
ad − bc − (xt − yz) + u(at + dx − bz − cy − xt + yz) ∈ [0, ∞), deci at + dx − bz − cy − xt + yz = 0
2
2
s , i ad − bc ≥ xt − yz, adic˘a det(A + B − BA) ≥ det(AB − BA). b) Se aplic˘a punctul a) pentru
0
0
matricele A = A + B s , i B = A − B.
M 33. Rezolvat ,i ˆın mult ,imea numerelor reale ecuat ,ia
1 + 3 · 2 3x−2 · 15 x−1 = 8 3x−2 − 15 3x−3 .
Marin Chirciu, Pites , ti
3
3
3
Solut ,ie. Notˆand a = 1, b = −2 3x−2 s , i c = 15 x−1 , ecuat , ia devine a + b + c − 3abc = 0, adic˘a
2
2
2
(a+b+c)(a +b +c −ab−ac−bc) = 0, deci a+b+c = 0 sau a = b = c. Cum a 6= b, ecuat , ia din
enunt , este echivalent˘a cu 1−2 3x−2 +15 x−1 = 0, adic˘a cu 15 x−1 −8 x−1 = 8 x−1 −1, (1). Aplicˆand
Teorema lui Lagrange pentru funct , ia f : (0, ∞) → R, f(t) = t x−1 pe intervalele [8, 15] s , i [1, 8],
0
0
rezult˘a c˘a exist˘a t 1 ∈ (8, 15) s , i t 2 ∈ (1, 8) a.ˆı. f(15) − f(8) = 7f (t 1 ) s , i f(8) − f(1) = 7f (t 2 ),
deci ecuat , ia (1) devine (x − 1)t x−2 = (x − 1)t x−2 , cu solut , iile x 1 = 1 s , i x 2 = 2.
2
1
M 34. a) Fie f : [a, b] → R o funct ,ie derivabil˘a, a, b ∈ R, a < b. Ar˘atat ,i c˘a exist˘a c 1 , c 2 ∈ (a, b)
f(c 1 ) − f(a) f(b) − f(c 2 )
0
0
astfel ˆıncˆat f (c 1 ) = s , i f (c 2 ) = .
b − c 1 c 2 − a
b) Demonstrat ,i c˘a pentru orice a, b ∈ R cu a < b exist˘a o infinitate de funct ,ii f derivabile pe
[a, b] pentru care valorile c 1 s , i c 2 definite la punctul a) sunt unice s , i egale.
Dorin M˘arghidanu, Corabia
Solut ,ie. a) Aplicˆand Teorema lui Rolle pentru funct , ia g : [a, b] → R, g(x) = (b−x) (f(x) − f(a))
0
0
rezult˘a c˘a exist˘a c 1 ∈ (a, b) astfel ˆıncˆat 0 = g (c 1 ) = − (f(c 1 ) − f(a)) + (b − c 1 )f (c 1 ), adic˘a
f(c 1 ) − f(a)
0
f (c 1 ) = . Analog, aplicˆand Teorema lui Rolle pentru funct , ia h : [a, b] → R,
b − c 1
h(x) = (x − a) (f(b) − f(x)) se obt , ine existent , a lui c 2 cu proprietatea din enunt , .
a + b
b) De exemplu, pentru funct , iile de forma f(x) = mx cu m 6= 0, se obt , ine c˘a c 1 = c 2 = .
2
M 35. Fie a, b, c, d ∈ [−1, ∞) astfel ˆıncˆat a + b + c + d = 0. Ar˘atat ,i c˘a

2
2
2
2
a + b + c + d + 5(abc + abd + acd + bcd) ≥ 4abcd.
Cˆand are loc egalitatea?
Leonard Giugiuc s , i Diana Tr˘ailescu, Drobeta Turnu Severin