Page 113 - MATINF Nr. 3

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 113

2
3
M 93. Fie (x n ) un s , ir de numere reale pozitive astfel ˆıncˆat s , irul (n x n + nx ) este
n≥1 n n≥1
2 4
3 2
m˘arginit superior. Ar˘atat , i c˘a s , irul (y n ) definit prin y n = n x + n x este convergent s , i
n≥1 n n
calculat , i limita sa.
Dinu Teodorescu, Tˆargovis , te
e
e
e
(1 + π ) (2 + π ) · . . . · (n + π )
M 94. Calculat , i lim .
π
π
π
n→∞ (1 + e ) (2 + e ) · . . . · (n + e )
Floric˘a Anastase, Lehliu Gar˘a
M 95. Pentru ce valori reale pozitive ale lui k s , i t inegalitatea

2
a + b 2 a + b |a − b| t
− ≥ k ·
2 2 (a + b) t−1
are loc pentru orice numere reale pozitive a s , i b?

Leonard Giugiuc, Romˆania s , i Tran Hong, elev, Vietnam

Clasa a XII-a

M 96. Pe mult , imea numerelor reale se consider˘a legea de compozit , ie

2
2
y + y + 1 x + x + 1 1
x ∗ y = (2x + 1) + (2y + 1) − , ∀x, y ∈ R.
3 3 2
a) Demonstrat , i c˘a (R, ∗) este un grup abelian izomorf cu grupul (R, +).

b) Ar˘atat , i c˘a 0 ∗ 0 ∗ . . . ∗ 0 ∈ Q.
| {z }
de 2019 ori 0
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

∗
M 97. Fie a ∈ R , b ∈ R s , i legea de compozit , ie ◦ : R × R → R,
x ◦ y = axy − ab(x + y) + b(1 + ab), ∀x, y ∈ R.

∗
p
Pentru orice n ∈ N , fie x n solut , ia ecuat , iei x ◦ x ◦ . . . ◦ x = a + b, unde p este un num˘ar natural
| {z }
de 2n+1 ori x
fixat. Calculat , i lim x n .
n→∞
Marin Chirciu, Pites , ti