Page 112 - MATINF Nr. 3

˘
112 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Clasa a X-a

M 86. Ar˘atat , i c˘a pentru orice a, b, c > 0 are loc inegalitatea

… … å Å ã
Ç …
a 3 b c a 3 b 3 c 3
9 3 + + 3 − + + ≤ 24.
b c a b 3 c 3 a 3
Sorin Ulmeanu, Pites , ti

M 87. Fie a, b ∈ (1, ∞) astfel ˆıncˆat ab = 4. Ar˘atat , i c˘a

1 1
+ < 1.
2 log (a + 1) − 1 2 log (b + 1) − 1
a b
Dinu Teodorescu, Tˆargovis , te

n
M 88. Fie n ∈ N, n ≥ 2. Rezolvat , i ˆın C ecuat , ia z + |z| = 2.

Daniel Jinga, Pites , ti
4
4
4
M 89. Un num˘ar natural nenul n se numes , te interesant dac˘a 1 + 2 + . . . + n se divide cu
2
2
2
1 + 2 + . . . + n . Demonstrat , i c˘a dintre orice cinci numere naturale nenule consecutive se pot
alege dou˘a interesante.
Cristinel Mortici, Viforˆata
M 90. Ar˘atat , i c˘a ˆın orice triunghi ABC are loc inegalitatea

2ab 2bc 2ca
+ + ≥ 3.
c(a + b) a(b + c) b(c + a)

Leonard Giugiuc, Drobeta Turnu Severin

Clasa a XI-a

Å ã
1 2 3 4 5 6 7 8
M 91. Cˆate solut , ii are ecuat , ia x 2019 = , x ∈ S 8 ?
2 3 4 5 6 7 8 1

Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

2
2
M 92. Fie A, B ∈ M 3 (C) cu proprietatea c˘a A + B = 2AB. Ar˘atat , i c˘a
2
2
2
det(A + B) = 8 det(A + B ).
Daniel Jinga, Pites , ti