Page 111 - MATINF Nr. 3

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 111

Probleme propuse pentru liceu

Clasa a IX-a

M 81. Fie s , irul (x n ) ⊂ [0, ∞) astfel ˆıncˆat x 0 = x 1 = 0 s , i
n≥0
1
∗
2
x 2 n+2 = 3x 2 n+1 − x + , ∀n ∈ N .
n
n 2
1 1 1
Demonstrat , i c˘a x n ≥ 1 + + + . . . + , ∀n ∈ N, n ≥ 3.
2 3 n − 2

Cristinel Mortici, Viforˆata

M 82. Fie D, E s , i F punctele de intersect , ie ale cercului exˆınscris triunghiului ABC cores-
punz˘ator laturii BC cu (BC), (AB, respectiv (AC, iar P s , i Q punctele de intersect , ie ale acestui
PQ · EF
cerc cu (BF), respectiv (CE). Ar˘atat , i c˘a = 3.
PE · QF

Miguel Ochoa Sanchez, Peru

M 83. Fie n ∈ N, n ≥ 2 s , i a 1 , a 2 , . . . , a n ≥ 0. Demonstrat , i c˘a

Õ
n n n
X X √ X √
a k ≥ n − 1 · a i .
i=1 k=1 i=1
k6=i

Daniel Jinga, Pites , ti

M 84. Demonstrat , i c˘a pentru orice n ∈ N, n ≥ 2 are loc egalitatea
√
π 3π 5π (2 n−1 − 1) π 2
sin sin sin · . . . · sin = n−2 .
2 n 2 n 2 n 2 n 2 2

Ionel Tudor, C˘alug˘areni

M 85. Demonstrat , i c˘a ˆın orice triunghi neobtuzunghic ABC are loc inegalitatea

√ √ Äp p p ä 2 √
(3 3 − 4)(ctg A + ctg B + ctg C) + (2 − 3) ctg A + ctg B + ctg C ≥ 2 3.

ˆ
In ce triunghiuri inegalitatea devine egalitate?

Leonard Giugiuc, Drobeta Turnu Severin