Page 104 - MATINF Nr. 3

˘
104 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

√
u
Solut ,ie. Prima ecuat , ie poate fi rescris˘a sub forma f(x) = f(y), unde f(u) = u+ u+2 , pentru
3
orice u ∈ R. Funct , ia f este strict cresc˘atoare (ca sum˘a de trei funct , ii strict cresc˘atoare), deci
ˆ
2
2
x
x = y. Inlocuind y = x s , i notˆand 2 = t, cea de-a doua ecuat , ie devine t −(9−x)t−2x +6x+8 = 0,
x
cu solut , iile t 1 = 8 − 2x s , i t 2 = x + 1. Pentru t = 8 − 2x obt , inem ecuat , ia 2 = 8 − 2x, cu solut , ia
unic˘a x 1 = 2 (funct , ia din membrul stˆang fiind strict cresc˘atoare, iar cea din membrul drept
x
strict descresc˘atoare). Pentru t = x + 1 obt , inem ecuat , ia 2 = x + 1, care are doar solut , iile
x 2 = 0 s , i x 3 = 1 (funct , ia din membrul stˆang fiind strict convex˘a, iar cea din membrul drept
ˆ
concav˘a, chiar liniar˘a). In concluzie, sistemul dat are solut , iile (0, 0), (1, 1) s , i (2, 2).

…
q
» p √
∗
M 28. Fie r n = n (n − 1) (n − 2) . . . 3 2 1, unde n ∈ N . Ar˘atat ,i c˘a:
1
Å n ã 1− n
(n − 1)2 + 1 2
a) r n ≤ .
n
2 − 1
n √
b) ∈ [1, n ].
r n
Dorin M˘arghidanu, Corabia
Solut ,ie. a) Rescriind r n s , i utilizˆand Inegalitatea mediilor avem

n
™ 2 −1
ß
1
î n−1 n−2 n−3 2 1 0 ó 2 n
2
2
r n = n 2 · (n − 1) 2 · (n − 2) 2 · . . . · 3 · 2 · 1 2 2 n −1
n
ò 2 −1
ï n−1 n−2 n−3 2 1 0
2 · n + 2 · (n − 1) + 2 · (n − 2) + . . . + 2 · 3 + 2 · 2 + 2 · 1 2 n
≤
2
1
2 n−1 + 2 n−2 + 2 n−3 + . . . + 2 + 2 + 2 0
1
(n − 1)2 + 1 2
Å n ã 1− n
= .
n
2 − 1
n
(n − 1)2 + 1 n
n
b) Utilizˆand a) avem r n ≤ = n − 1 + . Cum 2 ≥ n + 1, rezult˘a c˘a r n ≤ n.
n
n
2 − 1 2 − 1

… q
√ » p √ √
Evident, avem s , i r n = n · (n − 1) (n − 2) . . . 3 2 1 ≥ n.
ˆ
M 29. Fie ABC un triunghi cu AB 6= AC s , i fie D mijlocul laturii BC. In exteriorul triun-
ghiului ABC se construiesc triunghiurile BAM s , i CAN astfel ˆıncˆat AM = AB, AN = AC s , i
◦
m(^BAM) = m(^CAN) = α. Demonstrat ,i c˘a AD ⊥ MN dac˘a s , i numai dac˘a α = 90 .
Nicolae St˘aniloiu, Bocs , a
Solut ,ie. Considerˆand planul complex cu originea ˆın A s , i c˘a punctele A, B, C sunt nume-
z B + z C
rotate ˆın ordine trigonometric˘a, avem z D = , z N = z C · ω s , i z M = z B · ω, unde
2
Å ã
z M − z N
ω = cos α + i sin α. Astfel obt , inem echivalent , ele: AD ⊥ MN ⇔ Re = 0
z D
z B · ω − z C · ω z B · ω − z C · ω z B · ω − z C · ω z B · ω − z C · ω
Å ã Å ã
⇔ Re = 0 ⇔ = − ⇔ =
z B + z C z B + z C z B + z C z B + z C
z B · ω − z C · ω Ä 2 2 ä Ä 2 2 ä
− ⇔ ω |z B | − |z C | +ω |z B | − |z C | = 0 ⇔ ω +ω = 0 (deoarece AB 6= AC)
z B + z C
◦
⇔ cos α = 0 ⇔ α = 90 .