Page 103 - MATINF Nr. 3

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 103

M 25. Fie ABC un triunghi avˆand toate unghiurile mai mici decˆat 2π s , i fie T punctul Torricelli-
3
Fermat al acestuia. Bisectoarele unghiurilor ^BTC, ^CTA s , i ^ATB intersecteaz˘a laturile [BC],
[CA] s , i [AB] ˆın punctele D, E s , i respectiv F. Ar˘atat ,i c˘a AB +BC +CA ≥ 2(DE +EF +FD).

Leonard Giugiuc, Romˆania, Kadir Altintas, Turcia
s , i Miguel Ochoa Sanchez, Peru
◦
Solut ,ie. Punctul T are proprietatea c˘a m(^BTC) = m(^CTA) = m(^ATB) = 120 . Not˘am
p
2
2
TA = x, TB = y s , i TC = z. Conform Teoremei cosinusului avem AB = x + xy + y s , i
√
2
2
AC = z + xz + x , deci utilizˆand Inegalitatea mediilor s , i Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-
√
» √
p p
2
2
2
2
Schwarz rezult˘a c˘a AB+AC ≥ 2 x + xy + y · z + xz + x ≥ 2 xz + x yz + yx, (1).
2xy xy xz
◦
TF fiind bisectoare ˆın 4ATB, avem TF = · cos 60 = . Analog, TE = .
x + y x + y x + z

Å ã 2 Å ã 2
xy xy xz xz
Aplicˆand Teorema cosinusului ˆın 4ETF avem EF = + · + ,
x + y x + y x + z x + z
deci utilizˆand Inegalitatea mediilor (dintre media armonic˘a s , i cea geometric˘a) rezult˘a c˘a
√ √ √
… p
xy xy xz xz xz + x yz + yx
EF ≤ + · + = , (2). Din (1) s , i (2) deducem c˘a
4 2 2 4 2
AB + AC ≥ 4EF. Analog, AB + BC ≥ 4DF s , i AC + BC ≥ 4DE, iar prin adunare
obt , inem inegalitatea din enunt , .
Clasa a X-a
M 26. a) Determinat ,i funct ,ia strict cresc˘atoare f : R → R care satisface condit ,ia
2f(x) + f(f(x)) = 3x, ∀ x ∈ R.

b) Rezolvat ,i ˆın mult ,imea numerelor reale ecuat ,ia

3 x log 6 − 1 = 2x + (x + 1) log 5 .
5
6
Marin Chirciu, Pites , ti
Solut ,ie. a) Fie x ∈ R arbitrar fixat. Dac˘a f(x) < x, atunci f(f(x)) < f(x) < x, deci
2f(x) + f(f(x)) < 3x, fals. Analog, dac˘a f(x) > x, atunci 2f(x) + f(f(x)) > 3x, fals. Deci
f(x) = x, pentru orice x ∈ R, funct , ie ce verific˘a relat , ia dat˘a.

b) Notˆand x log 6 − 1 = t avem x = f(t), unde f(t) = (1 + t) log 5 = 5 log (1+t) , x > 0, t > −1.
6
5
6
Ecuat , ia din enunt , devine 2f(t) + f(f(t)) = 3t, deci t > 0 s , i conform punctului a) rezult˘a c˘a
u
u
f(t) = t, adic˘a 5 log (1+t) = t. Notˆand u = log (1 + t) = log t, rezult˘a c˘a t = 6 − 1 = 5 , deci
6
5
6
1 u + 5 u = 1, cu solut , ia unic˘a u = 1 (funct , ia din membrul stˆang fiind strict descresc˘atoare).
6 6
Rezult˘a c˘a t = 5, de unde x = 5, care verific˘a ecuat , ia din enunt , .
M 27. Rezolvat ,i ˆın R × R sistemul
√ √
ß x y
x − 3 y + 2 = y − 3 x + 2
x
2
2 2x − (9 − y) · 2 + 8 + 6x − 2y = 0 .
Sorin Ulmeanu, Pites , ti