Page 127 - MATINF Nr. 13-14

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 127

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU
CONCURSURI

Rezolvarea problemelor pentru liceu din MATINF nr. 9-10

Clasa a IX-a

M 205. Fie a ≥ b ≥ c > 0 astfel ˆıncˆat ab + bc + ca = 1.
a
Demonstrat ,i c˘
a b c 3 1
2
+ + ≥ + (a − c) .
b + c c + a a + b 2 3
Cristinel Mortici, Viforˆata

Solut ,ie. Folosind Inegalitatea lui Bergstr¨om s , i relat , iile din ipotez˘ avem
a
a b c 3 a 2 b 2 c 2 3
+ + − = + + −
b + c c + a a + b 2 ab + ca bc + ab ca + bc 2
2
2
(a + b + c) 2 3 (a − b) + (b − c) + (c − a) 2
≥ − =
2(ab + bc + ca) 2 4(ab + bc + ca)
2 2 2
(|a − b| + |b − c| + |c − a|) (a − b + b − c + a − c) (a − c)
≥ = = .
12(ab + bc + ca) 12 3

M 206. Determinat ,i numerele reale a, b, c ∈ (2022, 2023) astfel ˆıncˆat

1 1 1 1 1 1
+ + = 6 = + + .
a − 2022 b − 2022 c − 2022 2023 − a 2023 − b 2023 − c

George Mihai, Slatina

Solut ,ie (Daniel V˘acaru, Pites , ti; Titu Zvonaru, Com˘anes , ti). Aplicˆand Inegalitatea lui Bergstr¨om,
obt , inem

1 1 1 9
6 = + + ≥ s , i
a − 2022 b − 2022 c − 2022 a + b + c − 3 · 2022
1 1 1 9
6 = + + ≥ ,
2023 − a 2023 − b 2023 − c 3 · 2023 − (a + b + c)

deci 3 + 6 · 2022 ≤ 2(a + b + c) ≤ 6 · 2023 − 3.
a
Cum 3 + 6 · 2022 = 6 · 2023 − 3, rezult˘a c˘ inegalit˘at , ile de mai sus devin egalit˘at , i, deci
a = b = c s , i 2(a + b + c) = 3 + 6 · 2022.

Prin urmare a = b = c = 2022,5.