Page 108 - MATINF Nr. 13-14

108 M.N. Popescu

Å ã
1 2 3 4
σ 3 = , ciclu, cu ω (σ 3 ) = 1;
2 4 1 3
Å ã
1 2 3 4
σ 4 = , ciclu, cu ω (σ 4 ) = 1;
3 1 4 2
Å ã
1 2 3 4
σ 5 = = 1 3 2 4 , cu ω (σ 5 ) = 2;
3 4 1 2
Å ã
1 2 3 4
σ 6 = , ciclu, cu ω (σ 6 ) = 1;
3 4 2 1
Å ã
1 2 3 4
σ 7 = , ciclu, cu ω (σ 7 ) = 1;
4 1 2 3
Å ã
1 2 3 4
σ 8 = , ciclu, cu ω (σ 8 ) = 1;
4 3 1 2
Å ã
1 2 3 4
σ 9 = = 1 4 2 3 , cu ω (σ 9 ) = 2.
4 3 2 1
Deci, pentru permut˘arile f˘ar˘ puncte fixe din S 4 avem
a
X
ω (σ) = 6 · 1 + 3 · 2 = 12.

Dac˘ σ ∈ S 4 are un singur punct fix, atunci
a
∃ ! i ∈ {1, 2, 3, 4} astfel ca σ (i) = i

pentru care
Ä ä
ω (σ) = 1 + ω σ| {1, 2, 3, 4}\{i} .

a
Din analiza de la n = 3 exist˘ dou˘ permut˘ari σ| {1, 2, 3, 4}\{i} care nu au puncte fixe s , i ele
a
Ä ä
sunt cicluri (ω σ| = 1 ). Dac˘a t , inem cont c˘a avem 4 posibilit˘at , i pentru i,
{1, 2, 3, 4}\{i}
pentru permut˘arile cu un singur punct fix din S 4 avem
X
ω (σ) = 4 · 2 · (1 + 1) = 16.

a
Dac˘ σ ∈ S 4 are dou˘a puncte fixe, atunci
∃ ! i < j, i, j ∈ {1, 2, 3, 4} astfel ca σ (i) = i s , i σ (j) = j

pentru care
Ä ä
ω (σ) = 2 + ω σ| {1, 2, 3, 4}\{i,j} .
Din analiza de la n = 2 exist˘a o singur˘a permutareσ| {1, 2, 3, 4}\{i,j} care nu are puncte
Ä ä
2
fixe s , i ea este un cicluri (ω σ| {1, 2, 3, 4}\{i,j} = 1 ). Dac˘a t , inem cont c˘a avem C = 6
4
a
posibilit˘at , i pentru i < j, pentru permut˘arile cu dou˘ puncte fixe din S 4 avem
X
ω (σ) = 6 · 1 · (2 + 1) = 18.

Dac˘a σ ∈ S 4 are cel put ,in trei, deci patru puncte fixe, atunci σ este permutarea identic˘a
pentru care ω (σ) = 4.
Prin urmare
1 X 1 50 25
ω (σ) = · (12 + 16 + 18 + 4) = = .
4! 4! 24 12
σ∈S 4