Page 56 - MATINF Nr. 11-12

˘
56 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

√
2
6. Aria bazei unui tetraedu regulat este egal˘ cu 9 3 cm . Suma lungimilor muchiilor laterale
a
este egal˘a cu:
√
a) 16 3 cm; b) 30 cm; c) 12 cm; d) 18 cm.

SUBIECTUL al III-lea

Scriet , i rezolv˘arile complete.
1. Pentru ˆımpodobirea bradului de Cr˘aciun, Maria observ˘a c˘a dac˘a aranjeaz˘a globulet , ele
cˆate 8, cˆate 12 sau cˆate 18 ˆıi r˘amˆan de fiecare dat˘ 5 globulet , e.
a
a
a) Verific˘ dac˘ Maria poate avea ˆın brad 53 de globulet , e. Justific˘a r˘aspunsul.
a
b) Determin˘a num˘arul globulet , elor din bradul Mariei s , tiind c˘a acesta este cel mai mic
num˘ar natural de trei cifre cu propriet˘at , ile din enunt , .
Ä√ √ √ ä Ä√ √ √ ä √
2. Se consider˘ numerele reale a = 2 + 3 − 5 2 + 3 + 5 : 6 s , i
a
1 1 1 1
b = + + + .
1 · 3 2 · 4 3 · 5 4 · 6
a) Ar˘atat , i c˘a a = 2.
b) Calculat , i (8a − 30b) 100 .
2
2
a
3. Se consider˘ expresia E (x) = (5x + 3) − (3x + 4) , x ∈ R.
a) Arat˘a c˘a E(x) = (2x − 1)(8x + 7), pentru orice num˘ar real x.
a
a
b) Dac˘ num˘arul natural n nu este divizibil cu 3, atunci arat˘ c˘a E(n) se divide cu 3.
ˆ
4. In figura alaturat˘a este reprezentat un tri-
unghi ABC dreptunghicˆın A, cu BC = 32
cm s , i BD = 8 cm, AD ⊥ BC, D ∈ BC,
M mijlocul laturii AC.
a) Ar˘atat , i c˘a AB = 16 cm.
b) Calculat , i aria patrulaterului ABDM.
ˆ
5. In figura al˘aturat˘a este reprezentat un
trapez dreptunghic ABCD cu ADkBC,
◦
^A = ^B = 90 , AD = 2 · BC = 6 cm
√
2
s , i A ABCD = 27 2 cm . Punctul M este
mijlocul segmentului AB.
a) Demonstrat , i c˘a CD = 9 cm.
b) Determinat , i m˘asura unghiului
DMC.
ˆ
0
0
0
0
6. In figura al˘aturat˘ ABCDA B C D este o
a
a
prism˘ patrulater˘ regulat˘ cu aria lateral˘
a
a
a
2
2
a
de 96 cm s , i aria total˘ de 128 cm .
0
a) Arat˘a c˘a AA = 6 cm.
b) Dac˘a punctele M s , i N sunt mij-
0
loacele muchiilor AA respectiv DC,
determinat , i lungimea proiect , iei seg-
0
mentului MN pe planul (BCC ).