Page 108 - MATINF Nr. 11-12

˘
108 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Probleme propuse pentru liceu

Clasa a IX-a

∗
a
M 225. S˘ se arate c˘a pentru orice n ∈ N are loc identitatea
2
n
n
[ (2 + 13996) / [ [ (2 + 13996) / n ] / n ] ] = n ,
a
unde [x] este partea ˆıntreag˘ a num˘arului real x.

Mihai Prunescu, Bucures , ti

M 226. Demonstrat , i c˘a num˘arul k = 32 este cea mai mare constant˘a pozitiv˘a astfel ˆıncˆat
inegalitatea
4k
2
2
2
2
a + b + c + d + ≥ 4 + k
a + b + c + d
are loc pentru orice a = b ≥ c ≥ d ≥ 0 satisf˘acˆand ab + bc + cd + da = 4.
Vasile Cˆırtoaje, Ploies , ti

∗
M 227. Fie n ∈ N . Determinat , i a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , . . . , a n , b n > 0 astfel ˆıncˆat
n 2 3 2 3
(a + k )(b + k )
X
k
k
2
2
= n (n + 1) .
a k b k
k=1
Mih´aly Bencze, Bras , ov
M 228. Fie a, b > 0. Determinat , i x ∈ R astfel ˆıncˆat
√ √ √
2
2
2
2
2
2
x + ax + a + x + bx + b ≤ a + ab + b .
Miguel Amengual Covas, Spania
M 229. Fie s , irul (a n ) definit prin
n≥1
√
π 11π 19π 29π 3 − n
a n = sin sin sin sin − , ∀ n ≥ 1.
12n 12n 12n 12n 2 n

a) Ar˘atat , i c˘a s , irul este m˘arginit.
b) Ar˘atat , i c˘a s , irul are o infinitate de termeni pozitivi.

c) Ar˘atat , i c˘a s , irul cont , ine cel put , in doi termeni rat , ionali.

Ionel Tudor, C˘alug˘areni