Page 107 - MATINF Nr. 11-12

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 107

2n−1
P P
Cum a i a j ≥ n(2n − 1)(4n − 1)(4n − 3) − (2n − 1) a i , atunci
1≤i<j≤2n−1 i=1
2n−1
X X
−2 a i a j ≤ 2(2n − 1) a i − 2n(2n − 1)(4n − 1)(4n − 3), deci
1≤i<j≤2n−1 i=1

2 2
2n−1 2n−1 2n−1 2n−1
! !
X X X X X
−2 a i a j + a i ≤ +(4n−1) a i −2n(2n−1)(4n−1)(4n−3),
a i a i
i=1 1≤i<j≤2n−1 i=1 i=1 i=1
ã 2
2n−1
Å
P
4n(2n − 1) a i
de unde obt , inem inegalitatea i=1 ≥
Å ã 2
2n−1 2n−1
P P P
a i − 2 a i a j + a i
i=1 1≤i<j≤2n−1 i=1
ã 2
2n−1
Å
P
4n(2n − 1) a i
i=1 .
ã 2
2n−1 2n−1
Å
P P
a i + (4n − 1) a i − 2n(2n − 1)(4n − 1)(4n − 3)
i=1 i=1
Astfel este suficient s˘ ar˘at˘am c˘
a
a
ã 2
2n−1
Å
P
2n−1 4n(2n − 1) a i
X i=1
2
8n − 8n + 1 a i +
2n−1 2n−1
Å ã 2
i=1 P + (4n − 1) P a i − 2n(2n − 1)(4n − 1)(4n − 3)
a i
i=1 i=1
≥ 2n(2n − 1)(4n − 1)(4n − 3).
2n−1
P
Not˘am a i = (2n − 1)(4n − 1)s ≥ (2n − 1)(4n − 1) s , i ultima inegalitate devine
i=1
4n(2n − 1)s 2
2

8n − 8n + 1 s + ≥ 2n(4n − 3), (2).
2
(2n − 1)(4n − 1)s + (4n − 1)s − 2n(4n − 3)
a
Cum s ≥ 1, pentru a demonstra (2) este suficient s˘ ar˘at˘am c˘
a
2
2
2
2

2
(2n − 1)(4n − 1) 8n − 8n + 1 s + 4n (4n − 3)s ≥ 4n (4n − 3) .
Dar
2
2
2
2
2

(2n−1)(4n−1) 8n − 8n + 1 s +4n (4n−3)s ≥ (2n−1)(4n−1) 8n − 8n + 1 +4n (4n−3),
2
2
2
2
deci r˘amˆane de ar˘atat c˘a (2n − 1)(4n − 1) (8n − 8n + 1) + 4n (4n − 3) ≥ 4n (4n − 3) , adic˘a
2
16n − 14n + 1 ≥ 0, evident adev˘arat.
Demonstrat , ia este astfel complet˘a.
Å ã
2n 2n 1
a
S˘ remarc˘am c˘ avem egalitate pentru (1, . . . , 1) sau pentru , . . . , ,
a
2n − 1 2n − 1 4n − 2
s , i permut˘arile.