Page 104 - MATINF Nr. 11-12

˘
104 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

M 201. Fie x 1 , x 2 , . . . , x 2n , y 1 , y 2 variabile, n ≥ 1. Definim urm˘atoarele polinoame:

2n
X
k
S k = x , k = 1, 4,
i
i=1
2 2
2
2
P = S 4 − 2(y 1 + y 2 )S 3 + (y + 4y 1 y 2 + y )S 2 − 2y 1 y 2 (y 1 + y 2 )S 1 + 2ny y .
2
1 2
1
a
a
a) Ar˘atat ,i c˘ pentru orice y 1 , y 2 ∈ Z exist˘ x 1 , x 2 , . . . , x 2n ∈ Z astfel ˆıncˆat
P(x 1 , x 2 , . . . , x 2n , y 1 , y 2 ) = 0.
a
a
b) Ar˘atat ,i c˘ dac˘ numerele x 1 , x 2 , . . . , x 2n ∈ Z satisfac P(x 1 , x 2 , . . . , x 2n , y 1 , y 2 ) = 0 pentru
anumit ,i y 1 , y 2 ∈ Z, atunci cel put ,in n dintre aceste 2n numere sunt egale.

Mihai Prunescu, Bucures , ti

a
Solut ,ie. Not˘am s = y 1 + y 2 s , i p = y 1 y 2 . Pentru orice variabil˘ x, observ˘am c˘
a
2
2
2
4
2 2
3
3
2
4
x − 2sx + (s + 2p)x − 2spx + p = x + s x + p − 2sx − 2spx + 2px 2
2
2
2
2
= (x − sx + p) = (x − y 1 ) (x − y 2 ) .
As , adar,
2
2
2
2
P = (x 1 − y 1 ) (x 1 − y 2 ) + . . . + (x 2n − y 1 ) (x 2n − y 2 ) .
ˆ
In Z, Q, R sau ˆın oricare alt inel ordonat, P = 0 dac˘a s , i numai dac˘a tot , i termenii sunt 0,
adic˘ x 1 , . . . , x 2n ∈ {y 1 , y 2 }, deoarece aceasta este o sum˘a de p˘atrate.
a
a
Pentru punctul a) este suficient s˘ d˘am variabilelor x 1 , . . . , x 2n valori ˆın mult , imea {y 1 , y 2 }.
Pentru punctul b) este suficient s˘ observ˘am c˘ dac˘ 2n variabile iau numai dou˘ valori, cel
a
a
a
a
put , in jum˘atate dintre ele vor fi egale cu una dintre valori s , i, mai mult decˆat era de demonstrat,
celelalte sunt egale cu cealalt˘ valoare.
a
M 202. Fie f : [0, 1] → R o funct ,ie cresc˘atoare s , i derivabil˘a, cu f(0) = 0. Demonstrat ,i c˘
a
1
Z 2 Å ã
0
(3 − x)f (ln x) dx ≥ 2f .
2
1
Cristinel Mortici, Viforˆata
2
ˆ
2
0
Solut ,ie. Pentru orice x ∈ [1, 2] avem x − 3x + 2 ≤ 0, deci 3 − x ≥ . Inmult , ind cu f (ln x) ≥ 0
x
2
0
0
(f fiind cresc˘atoare), rezult˘ c˘ (3 − x)f (ln x) ≥ · f (ln x), pentru orice x ∈ [1, 2]. Deci
a
a
x
2 2 2 2 1
Z Z Å ã
0
0
(3 − x)f (ln x) dx ≥ · f (ln x) dx = 2f(ln x) = 2f(ln 2) − 2f(0) ≥ 2f ,

1 1 x 1 2
deoarece f este cresc˘atoare s , i f(0) = 0.