Page 106 - MATINF Nr. 11-12

˘
106 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

2n
2
Fie, prima dat˘a, 1 ≤ x ≤ . Not˘am (2n − 1) (8n − 8n + 1) = K s , i observ˘am c˘a
2n − 1
2n
2n P 1 Å 2n − 1 1 ã
2
(n−1)(4n−1) = K −n. Obt , inem K P x i −n ≥ K((2n−1)x+y)−n + ≥
i=1 i=1 x i x y
Å 2 ã Å ã
n − (n − 1)x 2n − 1 x
K (2n − 1)x + − n + . Deci este suficient s˘ ar˘at˘am
a
x x n − (n − 1)x 2
Å 2 ã Å ã
n − (n − 1)x 2n − 1 x
K (2n − 1)x + − n + ≥ 2n(K − n), (1),
x x n − (n − 1)x 2
2
2
K (x + 1) n [2n − 1 − (2n − 3)x ]
adic˘ − ≥ 2(K − n), adic˘a
a
2
x x [n − (n − 1)x ]
2
2
2

(x − 1) Kn + n − 2n − 2n − 2n x − K(n − 1)x 2 ≥ 0.
2
2
2
Deoarece, ˆın urma unui calcul direct, avem Kn + n − 2n − (2n − 2n) x − K(n − 1)x =
2
2
a
(n − 1)[2n − (2n − 1)x] [(8n − 8n + 1) x + 8n − 4n], rezult˘ c˘ (1) este adev˘arat˘a. Egalitatea
a
ß ™
2n
a
are loc dac˘ s , i numai dac˘a x ∈ 1, .
2n − 1
2n
2n
2n P P 1 Å 2n − 1 1 ã
Fie acum x ≥ . Obt , inem K x i −n ≥ K((2n−1)x+y)−n + ≥
2n − 1 i=1 i=1 x i x y
1 2n − 1
Å ã Å ã
K (2n − 1)x + − n + 4n − 2 ≥ 2n(K − n).
4n − 2 x
Consider˘am acum cazul ii). Not˘am (4n − 2)x i − 1 = a i ≥ 0, pentru orice 1 ≤ i ≤ 2n − 1.
2n−1
P P
Atunci (2n − 1) a i + a i a j ≥ n(2n − 1)(4n − 1)(4n − 3) s , i avem de ar˘atat c˘a
i=1 1≤i<j≤2n−1
2n−1 2n−1
X X a i
2
8n − 8n + 1 a i + 4n(2n − 1) ≥ 2n(2n − 1)(4n − 1)(4n − 3).
a i + 1
i=1 i=1
ã 2
2n−1
Å
P P
Din relat , ia (n − 1) a i ≥ (2n − 1) a i a j , obt , inem
i=1 1≤i<j≤2n−1
! 2
2n−1 2n−1 2n−1
X X X X
(n − 1) a i + (2n − 1) 2 a i ≥ (2n − 1) 2 a i + (2n − 1) a i a j
i=1 i=1 i=1 1≤i<j≤2n−1
2
≥ n(2n − 1) (4n − 1)(4n − 3),
2n−1
P
a
iar de aici c˘ a i ≥ (2n − 1)(4n − 1).
i=1
ã 2
2n−1 2n−1 2n−1
Å
P P a i P
Din Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz, a i (a i + 1) · ≥ a i s , i
i=1 i=1 a i + 1 i=1
Ç å 2
2n−1
P
2n−1 a i
P a i i=1
a
a
a
rezult˘ c˘ ≥ Ç å 2 . Deci este suficient s˘ ar˘at˘am c˘
a
i=1 a i + 1 2n−1 −2 P a i a j + 2n−1
P
P
a i a i
i=1 1≤i<j≤2n−1 i=1
ã 2
2n−1
Å
P
2n−1 4n(2n − 1) a i
2
8n − 8n + 1 X a i + i=1 ≥ 2n(2n − 1)(4n − 1)(4n − 3).
2n−1 2n−1
Å ã 2
i=1 P P P
a i − 2 a i a j + a i
i=1 1≤i<j≤2n−1 i=1