Page 111 - MATINF Nr. 11-12

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 111

Clasa a XII-a

a
M 240. Fie (G, ·) un grup finit cu cel put , in dou˘ elemente, iar e elementul neutru al grupului.
Demonstrat , i c˘ dac˘ pentru orice a, b ∈ G \ {e} exist˘ un automorfism al lui G astfel ˆıncˆat
a
a
a
f(a) = b, atunci exist˘ un num˘ar prim p astfel ˆıncˆat ord (x) = p pentru orice x ∈ G \ {e}.
a
Reciproca este adev˘arat˘a?
* * *

M 241. Determinat , i r˘ad˘acinile polinomului
√ √
3
4
f = 4 27 · X − 4X + 4 27 ∈ C[X].
Ionel Tudor, C˘alug˘areni

M 242. Fie a s , i b numere naturale nenule astfel ˆıncˆat a < b ≤ ea. Ar˘atat , i c˘a
√
ñ ô
Z b 2
4x + 3x + 2
dx = 2(b − a),
x
a
a
a
unde [x] reprezint˘ partea ˆıntreag˘ a num˘arului real x.
Mih´aly Bencze, Bras , ov

M 243. Pentru orice num˘ar natural n ≥ 2 consider˘am funct , ia f n : [0, 1] → R,

n
(1 − x) n−1 (1 + n)(1 − x) + (1 − n)(1 + x) n
f n (x) = · .
1 + x (1 − x) 2n + (1 + x) 2n

Este adev˘arat˘ egalitatea
a
1 1
Z Z
lim f n (x) dx = lim f n (x) dx ?
n→∞ n→∞
0 0
Sorin Ulmeanu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

M 244. Pentru orice num˘ar natural n ≥ 3, fie k n cea mai mare constant˘a real˘a pozitiv˘a pentru
care inegalitatea
1 1 1
Å ã
u + v + w − k n + + ≥ 3 − 3k n
u v w
1
are loc pentru orice numere reale u, v, w ≥ satisf˘acˆand uv + vw + wu ≥ 3.
n
a
Demonstrat , i c˘a exist˘ o infinitate de valori ale lui n pentru care num˘arul k n este rat , ional.
Leonard Mihai Giugiuc, Greci – Mehedint , i