Page 105 - MATINF Nr. 11-12

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 105

M 203. Fie f : [0, 1] → R o funct ,ie continu˘ astfel ˆıncˆat
a

Z 1
Ä √ ä
f(x) dx = ln 1 + 2 .
0
√
2
a
Ar˘atat ,i c˘ exist˘ c ∈ (0, 1) astfel ˆıncˆat c + 1 · f(c) = 1.
a
Mih´aly Bencze, Bras , ov

1
Z
Ä 1
√ ä
Solut ,ie (Daniel V˘acaru, Pites , ti). Observˆand c˘a ln 1 + 2 = √ dx, egalitatea din
2
0 x + 1
Z 1 Å 1 ã
ipoteza problemei se rescrie ca f (x) − √ dx = 0.
2
0 x + 1
1
Aplicˆand Teorema de medie, deducem c˘a exist˘a c ∈ (0, 1) astfel ˆıncˆat f (c) − √ = 0,
2
√ c + 1
adic˘ c + 1 · f(c) = 1.
2
a
1
M 204. Fie n ∈ N, n ≥ 2 s , i fie x 1 , x 2 , . . . , x 2n ≥ numere reale astfel ˆıncˆat
4n − 2
X
x i x j ≥ n(2n − 1).
1≤i<j≤2n

a
Demonstrat ,i c˘
2n 2n 1
2
2
(2n − 1) 8n − 8n + 1 X x i − n X ≥ 2n(n − 1)(4n − 1) .
x i
i=1 i=1
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin s , i Vasile Cˆırtoaje, Ploies , ti

2n
P P
a
Solut ,ie. Dac˘ fix˘am x i s , i x i x j , atunci expresia din membrul stˆang al inegalit˘t , ii dorite
a
i=1 1≤i<j≤2n
2n
P 1
este funct , ie cresc˘atoare de variabil˘ − . Conform Teoremei variabilelor egale (V. Cˆıırtoaje,
a
i=1 x i
The equal variable method, Journal of Inequlities in Pure and Applied Mathematics, vol. 8, iss. 1,
art. 15, 2007; https://www.emis.de/journals/JIPAM/images/059 06 JIPAM/059 06 www.p
2n
1 ï 1 ã P 1
a
df#page=5) aplicat˘ funct , iei θ → − pe intervalul , ∞ , suma − este minim˘ ˆın
a
θ 4n − 2 i=1 x i
1
urm˘atoarele dou˘ cazuri: fie i) exist˘ s , i sunt unici x, y cu x 1 = · · · x 2n−1 = x ≥ y = x 2n ≥ ,
a
a
4n − 2
1 1
fie ii) x 1 , . . . , x 2n−1 ≥ s , i x 2n = .
4n − 2 4n − 2
n − (n − 1)x 2
Vom considera ˆıntˆai cazul i). Avem y ≥ s , i cum x ≥ y, atunci x ≥ 1, iar cum
x
 2
n − (n − 1)x 2n
 y ≥ , dac˘ 1 ≤ x ≤
1  a ,
y ≥ , atunci x 2n − 1
4n − 2 1 2n
y ≥ , dac˘ x ≥

 a .
4n − 2 2n − 1