Page 103 - MATINF Nr. 11-12

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 103

2
3
unde α = −4k − k + 23k + 36, deci
3
2
2α = 3β − 5k + 16k + k − 12 = 3β + (k − 1)(3 − k)(5k + 4) > 0
s , i astfel γ > 0.

Pentru k ∈ [1, k 0 ], egalitatea are loc pentru a = b = c = 1. Pentru k = k 0 , egalitatea are loc
√
s , i pentru a = 0 s , i b = c = 3 (sau orice permutare ciclic˘a).

Am utilizat urm˘atorul rezultat.

Lem˘. Dac˘a b, c sunt numere reale pozitive s , i 1 ≤ k ≤ 3, atunci
a
1 1 2
+ ≤ .
2
(kb + c) 2 (b + kc) 2 (k + 1) bc

a
Demonstrat ,ie. Inegalitatea este echivalent˘ cu

2
2
2
2
(b − c) [2k (b + c ) + βbc] ≥ 0,
2
3
2
4
2
unde β = −k + 2k + 2k + 2k − 1 > k (−k + 2k − 1).
Ea este adev˘arat˘a, deoarece
2
2
2
2
2
2
2
2k (b + c ) + βbc > 4k bc + k (−k + 2k − 1)bc = k (3 − k)(1 + k)bc > 0.
Clasa a XII-a

M 200. Fie G un grup abelian. Ar˘atat ,i c˘a dac˘a exist˘a a, b, c ∈ G astfel ˆıncˆat ord (a) = 4,
ord (b) = 5 s , i ord (c) = 6, atunci exist˘ x ∈ G astfel ˆıncˆat ord (x) = 60.
a
a
a
a
R˘amˆane concluzia adev˘arat˘ dac˘ se renunt ,˘ la ipoteza c˘ grupul G este abelian?
a
* * *

5
6
2
4
Solut ,ie. Avem a = b = c = e. Fie x = abc .
60 60 120
a
Cum x 60 = a b c = e, rezult˘a c˘ ord (x) divide 60.
2
30 30 60
4
2
12 12 24
20 20 40
Dar x 30 = a b c = a 6= e, x 20 = a b c = c 6= e s , i x 12 = a b c = b 6= e, deci
a
a
ord (x) nu divide 30, 20 sau 12. Rezult˘ c˘ ord (x) = 60.
Concluzia nu r˘amˆane adev˘arat˘a dac˘a se renunt , ˘a la ipoteza c˘a grupul G este abelian. De
exemplu, pentru G = S 5 (grupul permut˘arilor mult , imii {1, 2, . . . , 5}), folosind scrierea ca produs
de cicli, pentru a = (1 2 3 4)(5), b = (1 2 3 4 5) s , i c = (1 2 3)(4 5) avem ord (a) = 4, ord (b) = 5,
ord (c) = 6 s , i S 5 nu cont , ine permut˘ari avˆand ordinul 60.