Page 29 - MATINF Nr. 9-10

O generalizare a Problemei 4609 din Crux

Mathematicorum

Marin Chirciu 1

Articolul pornes , te de la Problema 4609 din Crux Mathematicorum, Vol. 47 (2021), No. 1,
a
propus˘ de George Apostolopoulos:
Dac˘ AD, BE s , i CF sunt bisectoarele triunghiului ABC (D ∈ (BC), E ∈ (AC), F ∈ (AB)),
a
atunci
4
4
AB + BC + CA 4
≥ 16.
4
4
DE + EF + FD 4
Vom enunt , a s , i demonstra o generalizare a acestei probleme.

Vom utiliza urm˘atorul rezultat.

Lemma 1. Dac˘a BE s , i CF sunt bisectoare ˆın triunghiului ABC, cu E ∈ (AC) s , i F ∈ (AB),
atunci √
a bc
2
EF ≤ .
4
Demonstrat¸ie. Folosind Teorema bisectoarei ˆın ∆ABC obt , inem

bc bc
AF = s , i AE = .
a + b a + c

Cu Teorema cosinusului ˆın ∆AEF obt , inem

2
2
2
EF = AF + AE − 2AE · AF · cos A
Å ã 2 Å ã 2 2 2 2
bc bc bc bc b + c − a
= + − 2 · · ·
a + b a + c a + b a + c 2bc
2 2
2
b c a (a + b) (a + c) − a (a + b + c) (b − c) 2
= ·
2
(a + b) (a + c) 2 bc
2
2 2
2
b c a (a + b) (a + c) a bc
≤ · =
2
(a + b) (a + c) 2 bc (a + b) (a + c)
√
2
a bc a bc
≤ √ √ = ,
2 ab · 2 ac 4
cu egalitate dac˘a s , i numai dac˘a a = b = c.
Urmeaz˘ generalizarea problemei de mai sus.
a
1
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Zinca Golescu”, Pites , ti, marin.chirciu@yahoo.com
29