Page 30 - MATINF Nr. 9-10

30 M. Chirciu

Propozit , ia 1. Dac˘ AD, BE s , i CF sunt bisectoarele triunghiului ABC (D ∈ (BC), E ∈ (AC),
a
∗
F ∈ (AB)), atunci pentru orice n ∈ N avem
AB 2n + BC 2n + CA 2n
n
≥ 4 .
DE 2n + EF 2n + FD 2n
a
Egalitatea are loc dac˘ s , i numai dac˘ triunghiul ABC este echilateral.
a
Demonstrat¸ie. Folosind lema anterioar˘ s , i inegalit˘at , ile binecunoscute
a
2 2
2
2
2 2
2
4
4
2 2
4
x + y + z ≥ x y + y z + z x ≥ x yz + y zx + z xy, ∀ x, y, z ∈ R,
cu egalitate dac˘a s , i numai dac˘a x = y = z, obt , inem
AB 2n + BC 2n + CA 2n a 2n + b 2n + c 2n Ç √
DE 2n + EF 2n + FD 2n ≥ Ç √ å n Å √ ã n c ab å n
a bc
b ca
+ +
4 4 4
a 2n + b 2n + c 2n
n
= 4 · √ √ √
n n
n n
n n
a n b c + b n c a + c n a b
n
≥ 4 ,
cu egalitate dac˘a s , i numai dac˘a a = b = c.
Observat ,ia 1. Pentru n = 2 se obt , ine Problema 4609 din Crux Mathematicorum.
Bibliografie

[1] G. Apostolopoulos, Problem 4609, Crux Mathematicorum, Vol. 47 (2021), No. 1.